3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». Используя обозначения равных элементов и известные свойства фигур, найдите на рисунках равные прямоугольные треугольники. Укажите номера этих рисунков и по какому признаку они равны?

Решение:

Анализируем рисунки на наличие равных прямоугольных треугольников:

• Рисунок 5: Присутствуют прямоугольные треугольники \( \triangle BCE \) и \( \triangle BAF \) (судя по отметкам, \( \boldsymbol{BE} = \boldsymbol{BF} \) и \( \boldsymbol{CE} = \boldsymbol{AF} \)). Они имеют равные катеты. По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, \( \triangle BCE = \triangle BAF \).
• Рисунок 6: Изображен ромб \( ABDC \) (судя по отметкам, \( \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{AD} \) и \( \boldsymbol{CB} = \boldsymbol{CD} \)). Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Например, \( \triangle ABF \) и \( \triangle ADF \) — прямоугольные треугольники. \( \boldsymbol{AF} \) — общая сторона, \( \boldsymbol{BF} = \boldsymbol{DF} \) (диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам). По признаку равенства по двум сторонам и углу между ними (или по двум катетам, если \( AF \) — высота), \( \triangle ABF = \triangle ADF \). Также \( \triangle CBF = \triangle CDF \).
• Рисунок 7: Треугольники \( \triangle PQR \) и \( \triangle TSP \). \( \boldsymbol{PQ} = \boldsymbol{TS} \) и \( \boldsymbol{QR} = \boldsymbol{SP} \). Это равенство по двум сторонам. Но треугольники не являются прямоугольными.
• Рисунок 8: Треугольники \( \triangle ADF \) и \( \triangle EBF \). \( \boldsymbol{AD} = \boldsymbol{EB} \) и \( \boldsymbol{AF} = \boldsymbol{EF} \). Эти треугольники являются прямоугольными (судя по отметкам). По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, \( \triangle ADF = \triangle EBF \).

Вывод:

Равные прямоугольные треугольники найдены на рисунках 5, 6 и 8.

Рисунок 5: \( \triangle BCE = \triangle BAF \) по двум катетам (\( \boldsymbol{BE} = \boldsymbol{BF} \) и \( \boldsymbol{CE} = \boldsymbol{AF} \)).

Рисунок 6: \( \triangle ABF = \triangle ADF \) (и \( \triangle CBF = \triangle CDF \)) по двум катетам (\( \boldsymbol{AF} \) — общий катет, \( \boldsymbol{BF} = \boldsymbol{DF} \)).

Рисунок 8: \( \triangle ADF = \triangle EBF \) по двум катетам (\( \boldsymbol{AD} = \boldsymbol{EB} \) и \( \boldsymbol{AF} = \boldsymbol{EF} \)).