3. Высота KP треугольника MNK делит его сторону MN на отрезки MP и PN. Найдите сторону KM, если MP = 4√3 см, PN = 3 см, ∠MKP = 60°.

Решение:

В треугольнике \( MNK \) проведена высота \( KP \) к стороне \( MN \). Следовательно, \( \angle KPM = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle KPM \).

Из условия нам известно, что \( MP = 4\sqrt{3} \) см и \( \angle MKP = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

\( \tan(\angle MKP) = \frac{MP}{KP} \)

\( \tan(60^{\circ}) = \frac{4\sqrt{3}}{KP} \)

\( \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \)

\( \[ \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{KP} \]

\( KP = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \) см.

Теперь, когда мы знаем катеты \( KP = 4 \) см и \( MP = 4\sqrt{3} \) см, мы можем найти гипотенузу \( KM \) по теореме Пифагора:

\( KM^2 = KP^2 + MP^2 \)

\( KM^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 \)

\( KM^2 = 16 + (16 \times 3) \)

\( KM^2 = 16 + 48 \)

\( KM^2 = 64 \)

\( KM = √{64} = 8 \) см.

Ответ: 8 см.