3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 - 2x + 8 и y = 5.

Решение:

1. Найдем точки пересечения параболы \( y = -x^2 - 2x + 8 \) и прямой \( y = 5 \). Приравняем уравнения: \( -x^2 - 2x + 8 = 5 \).
2. Перенесем все члены в одну сторону: \( -x^2 - 2x + 3 = 0 \).
3. Умножим на -1: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
5. Найдем корни: \( x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2} \).
6. \( x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \).
7. \( x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \).
8. Таким образом, точки пересечения имеют координаты \( (-3; 5) \) и \( (1; 5) \).
9. Площадь фигуры будем вычислять как интеграл от разности верхней и нижней функций по найденным пределам интегрирования. Верхняя функция — прямая \( y = 5 \), нижняя — парабола \( y = -x^2 - 2x + 8 \).
10. \( S = \int_{-3}^{1} (5 - (-x^2 - 2x + 8)) dx \)
11. \( S = \int_{-3}^{1} (5 + x^2 + 2x - 8) dx \)
12. \( S = \int_{-3}^{1} (x^2 + 2x - 3) dx \)
13. Вычислим интеграл: \( S = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x \right]_{-3}^{1} \)
14. Подставим верхний предел: \( \frac{1^3}{3} + 1^2 - 3 \cdot 1 = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3} \).
15. Подставим нижний предел: \( \frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 - 3 \cdot (-3) = \frac{-27}{3} + 9 + 9 = -9 + 18 = 9 \).
16. Вычислим разность: \( S = -\frac{5}{3} - 9 = -\frac{5}{3} - \frac{27}{3} = -\frac{32}{3} \).
17. Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль: \( S = \left| -\frac{32}{3} \right| = \frac{32}{3} \).

Ответ: \( \frac{32}{3} \).