Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = \sqrt{x} \), \( y = \sqrt{4-3x} \) и \( y = 0 \), нам нужно сначала найти точки пересечения этих кривых.
- Пересечение \( y = \sqrt{x} \) и \( y = 0 \): \( \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0 \). Точка пересечения: (0, 0).
- Пересечение \( y = \sqrt{4-3x} \) и \( y = 0 \): \( \sqrt{4-3x} = 0 \Rightarrow 4-3x = 0 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \). Точка пересечения: (\(\frac{4}{3}\), 0).
- Пересечение \( y = \sqrt{x} \) и \( y = \sqrt{4-3x} \): \( \sqrt{x} = \sqrt{4-3x} \). Возводим обе части в квадрат: \( x = 4-3x \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1 \). Тогда \( y = \sqrt{1} = 1 \). Точка пересечения: (1, 1).
Фигура состоит из двух частей, разделенных точкой \( x = 1 \). Площадь можно найти, интегрируя функции по x.
Левая часть фигуры ограничена \( y = \sqrt{x} \) и \( y = 0 \) от \( x = 0 \) до \( x = 1 \).
Правая часть фигуры ограничена \( y = \sqrt{4-3x} \) и \( y = 0 \) от \( x = 1 \) до \( x = \frac{4}{3} \).
Площадь первой части (S1):
\[ S_1 = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(1^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) = \frac{2}{3} \]Площадь второй части (S2):
\[ S_2 = \int_{1}^{4/3} \sqrt{4-3x} dx \]Сделаем замену: \( u = 4-3x \). Тогда \( du = -3dx \), \( dx = -\frac{1}{3}du \).
При \( x=1 \), \( u = 4-3(1) = 1 \).
При \( x=\frac{4}{3} \), \( u = 4-3(\frac{4}{3}) = 4-4 = 0 \).
\[ S_2 = \int_{1}^{0} \sqrt{u} \left(-\frac{1}{3}\right) du = -\frac{1}{3} \int_{1}^{0} u^{1/2} du = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} u^{1/2} du \]\[ S_2 = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{3}(1^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9} \]Общая площадь (S):
\[ S = S_1 + S_2 = \frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9} \]Ответ: Площадь фигуры равна \(\frac{8}{9}\).
