3. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в прямоугольной системе координат: \(y=2+\arcsin\sqrt{x}+\sqrt{x-x^2},\quad \frac14\le x\le1.\)

Используем формулу длины дуги графика: \(L=\int_{1/4}^{1}\sqrt{1+(y')^2}\,dx\).

Сделаем замену \(x=\sin^2 t\). Тогда \(t=\arcsin\sqrt{x}\), а пределам \(x=\frac14\) и \(x=1\) соответствуют \(t=\frac{\pi}{6}\) и \(t=\frac{\pi}{2}\). На этом промежутке \(\sqrt{x-x^2}=\sin t\cos t\), поэтому \(y=2+t+\sin t\cos t\).

Находим производные по параметру: \(\frac{dx}{dt}=2\sin t\cos t\), \(\frac{dy}{dt}=1+\cos 2t=2\cos^2t\). Следовательно, элемент длины равен

\[ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt=\sqrt{4\sin^2t\cos^2t+4\cos^4t}\,dt=2\cos t\,dt.\]

Тогда \(L=\int_{\pi/6}^{\pi/2}2\cos t\,dt=2\left(1-\frac12\right)=1\).

Ответ: 1.