3. В треугольнике КРЕ известно, что ∠P = 90°, ∠K = 60°. На катете РЕ отметили такую точку М, что ∠KMP = 60°. Найдите РМ, если ЕМ = 24 см.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник КРЕ. По теореме о сумме углов треугольника: \( \angle E = 180° - \angle P - \angle K = 180° - 90° - 60° = 30° \).
2. Рассмотрим треугольник КМР. Угол \( \angle KMP = 60° \). Так как \( \angle KMP \) и \( \angle KMP \) — смежные углы, то \( \angle KMP + \angle KME = 180° \). Следовательно, \( \angle KME = 180° - 60° = 120° \).
3. Рассмотрим треугольник КМЕ. Сумма углов в треугольнике КМЕ: \( \angle KME + \angle KEM + \angle EKM = 180° \).
4. Мы знаем \( \angle KEM = \angle E = 30° \) и \( \angle KME = 120° \).
5. Найдём \( \angle EKM \): \( \angle EKM = 180° - \angle KME - \angle KEM = 180° - 120° - 30° = 30° \).
6. Так как \( \angle KEM = \angle EKM = 30° \), то треугольник КМЕ — равнобедренный с основанием КЕ. Следовательно, стороны, противолежащие равным углам, равны: \( КМ = МЕ = 24 \) см.
7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник КМР. Угол \( \angle KMP = 60° \).
8. В прямоугольном треугольнике КМР: \( \angle MKP \) — это часть угла \( \angle K = 60° \), и \( \angle KMP = 60° \).
9. Угол \( \angle MKP \) равен \( \angle K = 60° \) - \( \angle EKM = 60° - 30° = 30° \).
10. В прямоугольном треугольнике КМР, угол \( \angle PKM = 30° \). Следовательно, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае это катет РМ.
11. Гипотенуза в треугольнике КМР — это КМ. Мы уже знаем, что \( КМ = 24 \) см.
12. Находим РМ: \( РМ = \frac{1}{2} КМ = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \) см.

Ответ: РМ = 12 см.