3. В треугольнике ABC: a) медиану треугольника из вершины А; б) биссектрису треугольника из вершины В; в) высоту треугольника из вершины С. 4. В треугольнике FEH: а) медиану треугольника из вершины F; б) биссектрису треугольника из вершины Н; в) высоту треугольника из вершины Е. 5. На пересекающихся в точке С прямых выбраны точки А, В, Д и Е так, что АВ = ВС, СЕ = DE, а угол ВАС равен 72°. Найди угол CDE.

Решение:

3. Построение элементов треугольника ABC:

• а) Медиана из вершины А: Чтобы построить медиану из вершины А, найдите середину противоположной стороны BC. Соедините вершину А с этой серединой.
• б) Биссектриса из вершины В: Чтобы построить биссектрису из вершины В, проведите луч из вершины В, который делит угол ABC пополам.
• в) Высота из вершины С: Чтобы построить высоту из вершины С, проведите перпендикуляр из вершины С к противоположной стороне AB (или ее продолжению).

4. Построение элементов треугольника FEH:

• а) Медиана из вершины F: Найдите середину стороны EH и соедините ее с вершиной F.
• б) Биссектриса из вершины Н: Проведите луч из вершины Н, делящий угол FHE пополам.
• в) Высота из вершины Е: Проведите перпендикуляр из вершины Е к стороне FH (или ее продолжению).

5. Нахождение угла CDE:

• Анализ треугольника ABC: В треугольнике ABC AB = BC, значит, он равнобедренный. Угол BAC = 72°. Следовательно, угол BCA = угол BAC = 72°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому угол ABC = 180° - 72° - 72° = 180° - 144° = 36°.
• Анализ треугольника BCE: В треугольнике BCE BC = CE. Это означает, что треугольник BCE равнобедренный. Угол CBE = угол ABC = 36°. Угол BCE = угол CBE = 36°. Сумма углов в треугольнике BCE равна 180°, поэтому угол BEC = 180° - 36° - 36° = 180° - 72° = 108°.
• Анализ треугольника CDE: В треугольнике CDE CE = DE, значит, он равнобедренный. Угол DCE = 180° - угол BCE = 180° - 36° = 144°. Углы при основании DE равны: угол CDE = угол CED = (180° - 144°) / 2 = 36° / 2 = 18°.

Финальный ответ:

Угол CDE равен 18°.