3. В треугольниках АВС и А1В1С1 отрезки AD и A1D1 биссектрисы, AB = A1B1, BD = B1D1 и AD = A1D1. Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.

Рассмотрим треугольники ABD и A1B1D1. По условию AB = A1B1, BD = B1D1, AD = A1D1. Следовательно, треугольники ABD и A1B1D1 равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников ABD и A1B1D1 следует, что угол BAD равен углу B1A1D1. Так как AD и A1D1 являются биссектрисами, то угол BAC = 2 * угол BAD и угол B1A1C1 = 2 * угол B1A1D1. Следовательно, угол BAC равен углу B1A1C1. Теперь рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. По условию AB = A1B1. Мы доказали, что угол BAC равен углу B1A1C1. Также из равенства треугольников ABD и A1B1D1 следует, что угол ABD равен углу A1B1D1, что означает угол ABC равен углу A1B1C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Доказано.