3. В треугольниках ABD и MNP известны стороны: AB = 4, BD = 6, AD = 7. MN = 8, MP = 14. Найдите длину стороны NP, если ∠M = ∠A.

Решение:

У нас есть два треугольника: ΔABD и ΔMNP. Известно, что ∠M = ∠A.

Даны стороны:

• В ΔABD: AB = 4, BD = 6, AD = 7.
• В ΔMNP: MN = 8, MP = 14.

Так как ∠M = ∠A, и мы ищем длину стороны NP, то, скорее всего, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними (второй признак подобия).

Проверим отношение сторон, прилежащих к равным углам:

• Отношение сторон, прилежащих к ∠A в ΔABD: \( \frac{AD}{AB} = \frac{7}{4} \) или \( \frac{AB}{AD} = \frac{4}{7} \).
• Отношение сторон, прилежащих к ∠M в ΔMNP: \( \frac{MP}{MN} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} \) или \( \frac{MN}{MP} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \).

Мы видим, что \( \frac{AD}{AB} = \frac{MP}{MN} = \frac{7}{4} \). Это означает, что треугольники ΔABD и ΔMNP подобны по двум сторонам и углу между ними (∠A = ∠M).

Из подобия \( \triangle ABD \sim \triangle MNP \) следует пропорциональность соответствующих сторон:

\( \frac{AD}{MP} = \frac{AB}{MN} = \frac{BD}{NP} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{7}{14} = \frac{4}{8} = \frac{6}{NP} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{6}{NP} \)

Отсюда \( \frac{1}{2} = \frac{6}{NP} \).

\( NP = 6 \times 2 = 12 \).

Ответ: NP = 12