3. В ромбе ABCD проведена диагональ AC. Найдите угол ABC, если известно, что угол ACD равен 35°.

Решение:

В ромбе диагонали являются биссектрисами углов и делят их пополам. Также диагонали перпендикулярны.

Диагональ \( AC \) делит угол \( D \) пополам. Следовательно, \( \angle CAD = \angle ACD = 35^{\circ} \).

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^{\circ} \). Углы \( \angle BCD \) и \( \angle BAD \) равны, так как ромб — это параллелограмм.

Угол \( \angle BCD \) равен удвоенному углу \( \angle ACD \), так как \( AC \) — диагональ, а \( CD = CB \).

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \).

В ромбе диагонали перпендикулярны, поэтому \( \angle COD = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ACD \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^{\circ} \]\[ \angle CAD + 35^{\circ} + \angle ADC = 180^{\circ} \]\[ \angle ADC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \]

Но \( \angle ADC \) — это угол ромба \( D \). В ромбе противоположные углы равны, значит \( \angle ABC = \angle ADC \). Это неверно, так как \( AC \) - диагональ, она делит угол \( D \) и \( B \) пополам.

Правильный ход решения:

1. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов. Диагональ \( AC \) делит угол \( \angle D \) пополам, но нам дан угол \( \angle ACD \), который является частью угла \( D \).
2. Диагонали ромба перпендикулярны. \( AC ⊥ BD \).
3. В треугольнике \( \triangle ACD \): \( \angle CAD = \angle ACD = 35^{\circ} \) (свойство ромба, диагонали делят углы пополам).
4. \( \angle D = \angle CAD + \angle ACD = 35^{\circ} + 35^{\circ} = 70^{\circ} \).
5. В ромбе противоположные углы равны, значит \( \angle B = \angle D = 70^{\circ} \).
6. Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают \( 180^{\circ} \), значит \( \angle A + \angle D = 180^{\circ} \), \( \angle A = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \). \( \angle C = \angle A = 110^{\circ} \).
7. Проверка: \( 70^{\circ} + 110^{\circ} + 70^{\circ} + 110^{\circ} = 360^{\circ} \).

Ответ: 110°