3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность, касающаяся сторон в точках Е, М и К. Известно, что АМ = 4, ВЕ = 9. Найти периметр треугольника АВС.

Решение:

Пусть \( O \) — центр вписанной окружности. Точки касания сторон \( AB, BC, AC \) — \( M, K, E \) соответственно.

Из свойств касательных, проведённых из одной точки к окружности, следует:

• \( AM = AK \)
• \( BM = BK \)
• \( CE = CK \)

По условию \( AM = 4 \) и \( BE = 9 \).

Поскольку \( AM = AK \), то \( AK = 4 \).

Поскольку \( BM = BK \) и \( BE = 9 \), то \( BK = 9 \). (Заметьте, что \( BE \) — это отрезок от вершины \( B \) до точки касания на стороне \( BC \), которая обычно обозначается буквой \( K \) или другой буквой, если \( E \) — точка касания на \( AC \). Предполагаем, что \( E \) — точка касания на \( AC \) и \( K \) — на \( BC \). Если \( E \) — точка касания на \( AC \), то \( CE=CK \). Если \( M \) — точка касания на \( AB \), то \( AM = AK \), \( BM = BK \). Если \( K \) — точка касания на \( BC \), то \( BK = BK \). В условии есть неточность, обычно точки касания обозначаются последовательно. Предположим, что \( M \) на \( AB \), \( K \) на \( BC \), \( E \) на \( AC \). Тогда \( AM=AK \), \( BM=BK \), \( CE=CK \). Если \( E \) — точка касания на \( AC \), то \( AE = AK \). Если \( M \) — точка касания на \( AB \), то \( AM=AK \) и \( BM=BK \). Если \( E \) — точка касания на \( AB \), \( M \) — на \( BC \), \( K \) — на \( AC \), то \( AE=AK \), \( BE=BK \), \( CM=CK \). В условии же сказано: "касающаяся сторон в точках Е, М и К". Нет указания, на каких сторонах эти точки. Предположим, что \( M \) на \( AB \), \( K \) на \( BC \), \( E \) на \( AC \). Тогда \( AM=AE \) (ошибочно в условии), \( BM=BK \), \( CE=CK \). В условии дано \( AM=4 \) и \( BE=9 \). Если \( M \) на \( AB \) и \( E \) на \( AC \), то \( AM=4 \) и \( AE=4 \). Тогда \( AB = AM + MB = 4 + MB \) и \( AC = AE + EC = 4 + EC \). Точка \( E \) на \( AC \). Из условия \( BE=9 \) — это не отрезок касательной. Если \( E \) — точка касания на \( AC \), то \( AE = AK \). Если \( M \) — на \( AB \), то \( AM = AK \). Тогда \( AM = 4 \) и \( AE = 4 \). Если \( K \) — на \( BC \), то \( BK = BM \). Условие \( BE = 9 \) — это отрезок от вершины \( B \) до точки касания \( E \) на стороне \( AC \). Это не соответствует свойству касательных. Переформулируем условие: Пусть \( M \) — точка касания на \( AB \), \( K \) — на \( BC \), \( E \) — на \( AC \). Тогда \( AM=AE=4 \) и \( BK=BM=9 \).

Тогда стороны треугольника равны:

• \( AB = AM + MB = 4 + 9 = 13 \)
• \( BC = BK + KC = 9 + KC \)
• \( AC = AE + EC = 4 + EC \)

Так как треугольник равнобедренный с основанием \( AC \), то \( AB = BC \).

\( 13 = 9 + KC \) \(\implies\) \( KC = 13 - 9 = 4 \).

Так как \( CE = CK \) (свойство касательных), то \( CE = 4 \).

Теперь найдём длины сторон:

• \( AB = 13 \)
• \( BC = 9 + 4 = 13 \)
• \( AC = AE + EC = 4 + 4 = 8 \)

Периметр треугольника \( ABC \) равен сумме длин его сторон:

\( P = AB + BC + AC \)

\( P = 13 + 13 + 8 \)

\( P = 34 \)

Ответ: 34.