3) В равнобедренном \(\triangle\) с периметром \(64\) см одна из сторон \(= 16\) см. Найдите длину боковой стороны \(\triangle\).

Решение:

Пусть \(\triangle ABC\) — равнобедренный треугольник. Периметр \(P = 64\) см.

Возможны два случая:

1. Случай 1: Основание равно \(16\) см.
   Пусть \(AC = 16\) см. Тогда боковые стороны \(AB = BC\).
   \(P = AB + BC + AC = 2AB + 16 = 64\)
   \(2AB = 64 - 16 = 48\)
   \(AB = \frac{48}{2} = 24\) см.
   Проверим условие существования треугольника: сумма двух сторон должна быть больше третьей.
   \(24 + 24 > 16\) (верно)
   \(24 + 16 > 24\) (верно)
2. Случай 2: Боковая сторона равна \(16\) см.
   Пусть \(AB = BC = 16\) см.
   \(P = AB + BC + AC = 16 + 16 + AC = 64\)
   \(32 + AC = 64\)
   \(AC = 64 - 32 = 32\) см.
   Проверим условие существования треугольника:
   \(16 + 16 > 32\) (неверно, \(32 \ngtr 32\))
   В этом случае треугольник не существует.

Следовательно, основание равно \(16\) см, а боковые стороны — \(24\) см.

Ответ: Длина боковой стороны треугольника равна \(24\) см.