3. В прямоугольном треугольнике АВС угол между биссектрисой СК и высотой СН, проведёнными из вершины прямого угла С, равен 15°, сторона АВ = 14 см. Найдите сторону АС, если известно, что точка К лежит между В и Н.

Решение:

Пусть \( \angle C = 90° \). В прямоугольном треугольнике ABC, \( CH \) — высота, опущенная на гипотенузу AB, а \( CK \) — биссектриса прямого угла.

\( \angle HCA = \angle B \) и \( \angle KCA = \angle A / 2 \).

\( \angle C = 90° \), значит \( \angle A + \angle B = 90° \).

Биссектриса \( CK \) делит прямой угол \( \angle C \) пополам, поэтому \( \angle ACK = \angle KCB = 90° / 2 = 45° \).

\( CH \) — высота, поэтому \( \angle CHK = 90° \).

\( \angle HCA = \angle KCA - \angle KCH \)

\( \angle KCH = 15° \) (дано).

\( \angle KCA = 45° \).

\( \angle HCA = 45° - 15° = 30° \).

Так как \( CH \) — высота, то \( \angle CHA = 90° \). В треугольнике \( CHA \): \( \angle HAC = 90° - \angle HCA = 90° - 30° = 60° \). Это противоречит условию \( \angle A = 30° \) из задачи 2.

Пересмотрим условие:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90° \). \( CK \) — биссектриса, \( CH \) — высота.

\( \angle KCH = 15° \).

Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла, равен \( | \angle A - \angle B | / 2 \).

\( | \angle A - \angle B | / 2 = 15° \)

\( | \angle A - \angle B | = 30° \).

Так как \( \angle A + \angle B = 90° \), решим систему уравнений:

1) \( \angle A - \angle B = 30° \)

2) \( \angle A + \angle B = 90° \)

Сложим уравнения:

\( 2\angle A = 120° \) \( \Rightarrow \angle A = 60° \).

Тогда \( \angle B = 90° - 60° = 30° \).

У нас получился \( \angle A = 60° \) и \( \angle B = 30° \).

Проверим, что точка К лежит между В и Н.

Биссектриса \( CK \) делит \( \angle C \) пополам, \( \angle KCB = 45° \).

Высота \( CH \) к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle BCH = \angle A = 60° \).

Поскольку \( \angle KCB = 45° \) и \( \angle BCH = 60° \), то точка K лежит между C и H, а точка H лежит между K и B. Это противоречит условию, что К лежит между В и Н.

Предположим, что \( \angle A < \angle B \)

1) \( \angle B - \angle A = 30° \)

2) \( \angle A + \angle B = 90° \)

Сложим уравнения:

\( 2\angle B = 120° \) \( \Rightarrow \angle B = 60° \).

Тогда \( \angle A = 90° - 60° = 30° \).

В этом случае \( \angle ACK = 45° \).

\( \angle BCH = \angle A = 30° \).

\( \angle KCH = \angle KCB - \angle HCB = 45° - 30° = 15° \). Это совпадает с условием.

Теперь проверим положение точек. \( \angle KCB = 45° \), \( \angle BCH = 30° \). Так как \( \angle KCB > \angle BCH \), то биссектриса CK лежит "дальше" от катета CB, чем высота CH. Значит, точка K лежит между C и H, а H лежит между K и B. Это снова противоречит условию, что K лежит между В и Н.

Единственный вариант, когда К лежит между В и Н:

К — точка на гипотенузе AB, точка H — основание высоты из C на AB. Биссектриса CK пересекает AB в точке K, высота CH пересекает AB в точке H. Условие \( \angle KCH = 15° \) и \( \angle A = 30°, \angle B = 60° \) (или наоборот) означает, что точка K и H находятся на гипотенузе. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла, равен \( |\alpha - \beta|/2 \).

\( \angle A = 30° \), \( \angle B = 60° \) (или наоборот).

\( \angle ACK = 45° \).

\( \angle KCB = 45° \).

В прямоугольном треугольнике ABC: \( \angle HAC = \angle A \), \( \angle HBC = \angle B \).

\( CH \perp AB \).

В \( \triangle CHB \): \( \angle HCB = 90° - \angle B = 90° - 60° = 30° \).

\( \angle KCH = |\angle KCB - \angle HCB| = |45° - 30°| = 15° \). Это соответствует условию.

Точка K лежит на гипотенузе AB. Биссектриса CK делит сторону AB в отношении, равном отношению сторон, прилежащих к углу C: \( AK/KB = AC/BC \).

Высота CH делит гипотенузу AB. \( AH = AC \cos A = AC \cos 30° \), \( BH = BC \cos B = BC \cos 60° \).

AB = 14 см.

В \( \triangle ABC \): \( AC = AB \cos A = 14 \cos 30° = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \) см.

\( BC = AB \sin A = 14 \sin 30° = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 \) см.

Проверим \( \angle BCH \). В \( \triangle BCH \): \( \angle B = 60° \), \( \angle BH C = 90° \). \( \angle BCH = 90° - 60° = 30° \).

\( \angle ACK = 45° \).

\( \angle KCH = \angle ACK - \angle ACH \). Здесь \( \angle ACH = 90° - \angle A = 90° - 30° = 60° \).

\( \angle KCH = |45° - 60°| = 15° \).

Условие \( \angle A = 30°, \angle B = 60° \) и \( \angle KCH = 15° \) выполняется.

Точка K делит AB по свойству биссектрисы: \( AK/KB = AC/BC = 7\sqrt{3}/7 = \sqrt{3} \).

\( AK = \sqrt{3} KB \).

\( AK + KB = AB = 14 \)

\( \sqrt{3} KB + KB = 14 \)

\( KB (\sqrt{3} + 1) = 14 \)

\( KB = \frac{14}{\sqrt{3} + 1} = \frac{14(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{14(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{14(\sqrt{3} - 1)}{2} = 7(\sqrt{3} - 1) \) см.

\( AK = 14 - 7(\sqrt{3} - 1) = 14 - 7\sqrt{3} + 7 = 21 - 7\sqrt{3} \) см.

Высота CH. \( BH = BC \cos B = 7 \cos 60° = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5 \) см.

\( AH = AC \cos A = 7\sqrt{3} \cos 30° = 7\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 \cdot \frac{3}{2} = 10.5 \) см.

\( AH + BH = 10.5 + 3.5 = 14 \) см (гипотенуза AB).

Сравним положения K и H на гипотенузе AB. Предполагаем, что точка A — начало отсчета.

Положение K: \( AK = 21 - 7\sqrt{3} \approx 21 - 7 \cdot 1.732 = 21 - 12.124 = 8.876 \) см.

Положение H: \( AH = 10.5 \) см.

Так как \( AK < AH \), точка K лежит между A и H. Это означает, что точка H лежит между K и B. Следовательно, K не лежит между В и Н.

Единственный вариант, при котором К лежит между В и Н: \( \angle A > \angle B \).

\( \angle A = 60° \), \( \angle B = 30° \).

\( AC = AB \cos A = 14 \cos 60° = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 \) см.

\( BC = AB \sin A = 14 \sin 60° = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \) см.

\( CH \perp AB \). В \( \triangle ACH \): \( \angle ACH = 90° - \angle A = 90° - 60° = 30° \).

\( CK \) — биссектриса, \( \angle ACK = 45° \).

\( \angle KCH = |\angle ACK - \angle ACH| = |45° - 30°| = 15° \). Условие выполнено.

Точка K делит AB по свойству биссектрисы: \( AK/KB = AC/BC = 7 / (7\sqrt{3}) = 1/\sqrt{3} \).

\( AK = \frac{1}{\sqrt{3}} KB \).

\( AK + KB = 14 \)

\( \frac{1}{\sqrt{3}} KB + KB = 14 \)

\( KB (\frac{1}{\sqrt{3}} + 1) = 14 \)

\( KB (\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}) = 14 \)

\( KB = \frac{14\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}( \sqrt{3} - 1)}{( \sqrt{3} + 1)( \sqrt{3} - 1)} = \frac{14(3 - \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{14(3 - \sqrt{3})}{2} = 7(3 - \sqrt{3}) \) см.

\( AK = 14 - 7(3 - \sqrt{3}) = 14 - 21 + 7\sqrt{3} = 7\sqrt{3} - 7 \) см.

Высота CH. \( AH = AC \cos A = 7 \cos 60° = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5 \) см.

\( BH = BC \cos B = 7\sqrt{3} \cos 30° = 7\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 \cdot \frac{3}{2} = 10.5 \) см.

Сравним положения K и H на гипотенузе AB (предполагаем A — начало отсчета).

Положение K: \( AK = 7\sqrt{3} - 7 \approx 7 \cdot 1.732 - 7 = 12.124 - 7 = 5.124 \) см.

Положение H: \( AH = 3.5 \) см.

Так как \( AK > AH \), точка K лежит между H и B. Следовательно, точка H лежит между A и K, а точка K лежит между H и B.

В этом случае K лежит между H и B. H лежит между A и K. Тогда K лежит между A и B. H лежит между A и K. Значит, K лежит между H и B. Точка H лежит между A и K. Тогда K лежит между H и B. H находится между A и K. Следовательно, K лежит между H и B. H лежит между A и K.

Условие: точка К лежит между В и Н. Это означает, что порядок точек на гипотенузе AB: A, H, K, B.

\( AH = 3.5 \text{ см} \).

\( AK = 7\sqrt{3} - 7 \approx 5.124 \text{ см} \).

\( AH < AK \). Значит, H лежит между A и K.

\( KB = 7(3 - \sqrt{3}) \approx 7(3 - 1.732) = 7(1.268) = 8.876 \) см.

\( BH = 10.5 \text{ см} \).

\( KB < BH \). Значит, K лежит между B и H.

Таким образом, \( \angle A = 60°, \angle B = 30° \) и \( AC = 7 \text{ см} \).

Ответ: AC = 7 см.