Контрольные задания > 3) В окружности с центром О проведены радиусы ОА, ОВ и ОС так, что OB ⊥ AC и отрезки ОВ и AC пересекаются. Докажите, что AB = BC.
Вопрос:

3) В окружности с центром О проведены радиусы ОА, ОВ и ОС так, что OB ⊥ AC и отрезки ОВ и AC пересекаются. Докажите, что AB = BC.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Цель доказательства:

  • Доказать равенство отрезков AB и BC.
Краткое пояснение: Для доказательства равенства отрезков AB и BC будем использовать свойства равнобедренного треугольника и равенство треугольников, исходя из условия перпендикулярности OB к AC.

Пошаговое доказательство:

  1. Шаг 1: Рассмотрим треугольник OAC. OA и OC — радиусы окружности, следовательно, OA = OC. Это означает, что треугольник OAC — равнобедренный.
  2. Шаг 2: По условию OB ⊥ AC. В равнобедренном треугольнике OAC, OB является высотой, проведенной к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой.
  3. Шаг 3: Так как OB — медиана, она делит основание AC пополам. Следовательно, точка пересечения OB и AC (назовем ее M) делит AC на равные отрезки: AM = MC.
  4. Шаг 4: Теперь рассмотрим треугольники OAB и OBC. У них:
    • OA = OC (радиусы)
    • OB — общая сторона
    • ∠OMA = ∠OMC = 90° (так как OB ⊥ AC)
  5. Шаг 5: По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках OMA и OMC:
    • AB² = OA² - AM²
    • BC² = OC² - MC²
  6. Шаг 6: Так как OA = OC и AM = MC, то OA² = OC² и AM² = MC². Следовательно, AB² = BC².
  7. Шаг 7: Из равенства квадратов следует равенство самих отрезков: AB = BC.

Доказано.

ГДЗ по фото 📸