№3 В коробке 5 синих и 6 зеленых карандашей. Из коробки по очереди случайным образом вынимают два карандаша. Постройте дерево этого случайного опыта. Пользуясь деревом, найдите вероятность события: А) А-«оба извлеченных карандаша – зеленые»; Б) А-«извлечены разноцветные карандаши».

Построение дерева случайного опыта:

Всего карандашей: 5 синих + 6 зеленых = 11.

Первое извлечение:

• Вероятность вынуть синий карандаш (С1): \( P(C1) = \frac{5}{11} \)
• Вероятность вынуть зеленый карандаш (З1): \( P(З1) = \frac{6}{11} \)

Второе извлечение (зависит от первого):

• Если первый был синий (С1), то осталось 4 синих и 6 зеленых (всего 10).
• Вероятность вынуть синий карандаш (С2 | С1): \( P(C2 | C1) = \frac{4}{10} \)
• Вероятность вынуть зеленый карандаш (З2 | С1): \( P(З2 | C1) = \frac{6}{10} \)
• Если первый был зеленый (З1), то осталось 5 синих и 5 зеленых (всего 10).
• Вероятность вынуть синий карандаш (С2 | З1): \( P(C2 | З1) = \frac{5}{10} \)
• Вероятность вынуть зеленый карандаш (З2 | З1): \( P(З2 | З1) = \frac{5}{10} \)

Расчет вероятностей событий:

А) Вероятность события «оба извлеченных карандаша – зеленые» (З1 и З2):

Это событие соответствует ветке З1 \(\to\) З2.

Вероятность \( P(A) = P(З1) \times P(З2 | З1) = \frac{6}{11} \times \frac{5}{10} = \frac{30}{110} = \frac{3}{11} \)

Б) Вероятность события «извлечены разноцветные карандаши»:

Это означает, что мы вытащили либо синий, а потом зеленый (С1 и З2), либо зеленый, а потом синий (З1 и С2).

• Вероятность С1 и З2: \( P(C1 \text{ и } З2) = P(C1) \times P(З2 | C1) = \frac{5}{11} \times \frac{6}{10} = \frac{30}{110} \)
• Вероятность З1 и С2: \( P(З1 \text{ и } C2) = P(З1) \times P(C2 | З1) = \frac{6}{11} \times \frac{5}{10} = \frac{30}{110} \)

Общая вероятность события Б (сумма вероятностей несовместных исходов):

\( P(Б) = P(C1 \text{ и } З2) + P(З1 \text{ и } C2) = \frac{30}{110} + \frac{30}{110} = \frac{60}{110} = \frac{6}{11} \)

Ответ: А) \( \frac{3}{11} \), Б) \( \frac{6}{11} \).