3. Упростите выражение: \( \frac{4a^{-1}}{y^2} \cdot \frac{y^5}{12a^{-3}} \)

Решение:

1. Перепишем выражение, используя правила работы со степенями: \( a^{-1} = \frac{1}{a} \) и \( a^{-3} = \frac{1}{a^3} \).
2. Подставим это в исходное выражение: \( \frac{\frac{4}{a}}{y^2} \cdot \frac{y^5}{\frac{12}{a^3}} \)
3. Преобразуем дроби: \( \frac{4}{a \cdot y^2} \cdot \frac{y^5 \cdot a^3}{12} \)
4. Перемножим числители и знаменатели: \( \frac{4 \cdot y^5 \cdot a^3}{a \cdot y^2 \cdot 12} \)
5. Сократим дробь, используя свойства степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) и \( \frac{y^m}{y^n} = y^{m-n} \) и числовые коэффициенты: \( \frac{4}{12} \cdot \frac{a^3}{a} \cdot \frac{y^5}{y^2} = \frac{1}{3} \cdot a^{3-1} \cdot y^{5-2} = \frac{1}{3} a^2 y^3 \)

Ответ: \( \frac{1}{3} a^2 y^3 \)