3. Сторона АС равностороннего треугольника АВС продолжена за точку С на длину CD = АС. Медиана СМ треугольника ВСD равна 6 см. Найдите сторону треугольника АBC.

Решение:

Пусть сторона равностороннего треугольника ABC равна \( a \). Тогда \( AC = BC = AB = a \).

По условию \( CD = AC \), следовательно, \( CD = a \).

Рассмотрим треугольник BCD. \( BC = a \), \( CD = a \). Значит, треугольник BCD равнобедренный.

CM — медиана треугольника BCD. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \( CM \perp BD \).

Рассмотрим треугольник BCM. Он является прямоугольным, так как \( \angle CMB = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора в треугольнике BCM:

\( BC^2 = BM^2 + CM^2 \)

Так как CM — медиана, то \( BM = MD = \frac{1}{2} BD \).

Треугольник ABC — равносторонний, поэтому \( \angle ACB = 60^{\circ} \). Угол \( \angle BCD \) — развёрнутый, \( \angle BCD = 180^{\circ} \). Однако, точка D находится за точкой C, и угол BCD может быть не 180 градусов. Но в условии задачи сказано, что сторона AC продолжена за точку C на длину CD. Это означает, что точки A, C, D лежат на одной прямой.

Поскольку \( \angle ACB = 60^{\circ} \) и \( A, C, D \) лежат на одной прямой, то \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

В равнобедренном треугольнике BCD (так как \( BC = CD = a \)), углы при основании BD равны:

\( \angle CBD = \angle CDB = \frac{180^{\circ} - \angle BCD}{2} = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Теперь вернёмся к прямоугольному треугольнику BCM. \( CM = 6 \) см, \( \angle CBM = \angle CBD = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы:

\( CM = \frac{1}{2} BC \) — это неверно, так как \( CM \) — катет, а \( BC \) — гипотенуза.

Правильно:

\( CM = BC \times ​​ \sin(30^{\circ}) \) - это если бы CM был катет, противолежащий углу B.

В прямоугольном треугольнике BCM, \( \angle CMB = 90^{\circ} \), \( \angle CBM = 30^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \tan(​​\angle CBM) = ​​\frac{CM}{BM} \).

\( \tan(30^{\circ}) = ​​\frac{6}{BM} \).

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = ​​\frac{6}{BM} \).

\( BM = 6 \sqrt{3} \) см.

Так как \( BM = \frac{1}{2} BD \), то \( BD = 2 \times BM = 2 \times 6 ​​\sqrt{3} = 12 ​​\sqrt{3} \) см.

Теперь найдём сторону \( a \) (гипотенузу BC) в прямоугольном треугольнике BCM, используя \( CM = 6 \) и \( BM = 6 ​​\sqrt{3} \) по теореме Пифагора:

\( BC^2 = BM^2 + CM^2 \)

\( a^2 = (6 ​​\sqrt{3})^2 + 6^2 \)

\( a^2 = 36 \times 3 + 36 \)

\( a^2 = 108 + 36 \)

\( a^2 = 144 \)

\( a = ​​\sqrt{144} = 12 \) см.

Таким образом, сторона треугольника ABC равна 12 см.

Ответ: 12 см.