3. Сократите: \(\frac{84 · 8 · 4}{14 · 2 · 24 · 11}\)

Решение:

Сократим дробь, разложив числа на множители и найдя общие делители в числителе и знаменателе.

\( 84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21 = 2 · 2 · 3 · 7 \)

\( 14 = 2 · 7 \)

\( 24 = 2 · 12 = 2 · 2 · 6 = 2 · 2 · 2 · 3 \)

Теперь подставим разложенные множители в дробь:

\[ 311·2·2·2·3·2·7·8 · 4 \]

Произведём сокращения:

• \( 84 \) и \( 14 \) сокращаются на 14: \( 84 ÷ 14 = 6 \), \( 14 ÷ 14 = 1 \).
• \( 6 \) (из 84) и \( 2·3 \) (из 24) сокращаются. \( 6 \) и \( 2 · 3 \) равны.
• \( 8 \) и \( 2 · 4 \) сокращаются. \( 8 \) и \( 8 \) равны.

Перепишем выражение после сокращений:

\[ 11·1·1 · 1 · 1· 2·7 · 1 · 1 \]

Числитель: \( 1 \) (остался от 84 после сокращения на 14, затем ещё на 6, и 8 на 8). Числитель: \( 1 · 1 · 1 = 1 \).

Знаменатель: \( 11 · 1 · 1 · 11 \).

Давайте попробуем по-другому:

\[ 84 · 8 · 4 \]

\[ 14 · 2 · 24 · 11 \]

Сократим \( 84 \) и \( 14 \) на 14: \( 6 \) и \( 1 \).

\[ 6 · 8 · 4 \]

\[ 1 · 2 · 24 · 11 \]

Сократим \( 6 \) и \( 24 \) на 6: \( 1 \) и \( 4 \).

\[ 1 · 8 · 4 \]

\[ 1 · 2 · 4 · 11 \]

Сократим \( 8 \) и \( 2 \) на 2: \( 4 \) и \( 1 \).

\[ 1 · 4 · 4 \]

\[ 1 · 1 · 4 · 11 \]

Сократим \( 4 \) и \( 4 \) на 4: \( 1 \) и \( 1 \).

\[ 1 · 1 · 1 \]

\[ 1 · 1 · 1 · 11 \]

Остаётся: \( \frac{1}{11} \).

Ответ: 1) \( \frac{4}{11} \)