3. Сократите дробь: a) \(\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}\) б) \(\frac{b-4}{\sqrt{b}-2}\)

Решение:

а)

Чтобы сократить дробь \(\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}\), мы можем представить числитель и знаменатель следующим образом:

Числитель: \(5 - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)\)

Знаменатель: \(\sqrt{10} - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)\)

Теперь подставим это обратно в дробь:

\[ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)} \]

Сокращаем общий множитель \((\sqrt{5} - 1)\):

\[ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\[ \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \]

б)

Чтобы сократить дробь \(\frac{b-4}{\sqrt{b}-2}\), мы можем заметить, что числитель является разностью квадратов: \(b - 4 = (\sqrt{b})^2 - 2^2\).

Используя формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), мы можем разложить числитель:

\[ b - 4 = (\sqrt{b} - 2)(\sqrt{b} + 2) \]

Теперь подставим это обратно в дробь:

\[ \frac{(\sqrt{b} - 2)(\sqrt{b} + 2)}{\sqrt{b} - 2} \]

Сокращаем общий множитель \((\sqrt{b} - 2)\), при условии, что \(\sqrt{b} - 2 \neq 0\), то есть \(b \neq 4\) и \(b \geq 0\):

\[ \sqrt{b} + 2 \]

Ответ: а) \(\frac{\sqrt{10}}{2}\); б) \(\sqrt{b} + 2\).