3. Рис. 649. Дано: АВ, ВС касательные, ОВ = 2, АО = 4. Найти: ДВОС.

Решение:

В задачах, где касательные проведены из одной точки к окружности, они равны. Треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle CBO \) являются прямоугольными, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle ABO = \angle CBO = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора в \( \triangle ABO \): \( AO^2 = AB^2 + OB^2 \).

Подставим известные значения: \( 4^2 = AB^2 + 2^2 \).

\( 16 = AB^2 + 4 \).

\( AB^2 = 16 - 4 = 12 \).

\( AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).

В \( \triangle ABO \), \( \cos(\angle AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

Следовательно, \( \angle AOB = 60^{\circ} \).

Так как \( \triangle ABO \) и \( \triangle CBO \) равны (по гипотенузе и катету: \( AO=CO=R \), \( OB \) - общая гипотенуза), то \( \angle COB = \angle AOB = 60^{\circ} \).

\( \angle BOC = \angle AOB + \angle COB = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Ответ: \( \angle BOC = 120^{\circ} \).