3. Решите уравнение: 1) а) x⁴ − 26x² + 25 = 0; б) x⁴ − 20x² + 64 = 0; в) 9x⁴ − 37x² + 4 = 0; г) 16x⁴ − 25x² + 9 = 0; 2) а) x⁴ + 15x² − 16 = 0; б) 9x⁴ − 32x² − 16 = 0; 3) а) x⁴ − 10x² + 25 = 0; б) x⁴ − 3x² + 9 = 0.

Question

Вопрос:

Фото задания: 3. Решите уравнение: 1) а) x⁴ − 26x² + 25 = 0; б) x⁴ − 20x² + 64 = 0; в) 9x⁴ − 37x² + 4 = 0; г) 16x⁴ − 25x² + 9 = 0; 2) а) x⁴…

3. Решите уравнение: 1) а) x⁴ − 26x² + 25 = 0; б) x⁴ − 20x² + 64 = 0; в) 9x⁴ − 37x² + 4 = 0; г) 16x⁴ − 25x² + 9 = 0; 2) а) x⁴ + 15x² − 16 = 0; б) 9x⁴ − 32x² − 16 = 0; 3) а) x⁴ − 10x² + 25 = 0; б) x⁴ − 3x² + 9 = 0.

Accepted Answer

Во всех уравнениях введём замену \(t=x^2\), где \(t\geq 0\). Решим квадратное уравнение относительно \(t\), затем вернёмся к \(x\).

а) \(t^2-26t+25=0\), поэтому \((t-1)(t-25)=0\). Значит, \(x^2=1\) или \(x^2=25\), откуда \(x=\pm1,\pm5\).
б) \(t^2-20t+64=0\), поэтому \((t-4)(t-16)=0\). Значит, \(x^2=4\) или \(x^2=16\), откуда \(x=\pm2,\pm4\).
в) \(9t^2-37t+4=0\). Дискриминант \(D=37^2-4\cdot9\cdot4=1225\), поэтому \(t=(37\pm35)/18\), то есть \(t=4\) или \(t=1/9\). Отсюда \(x=\pm2,\pm1/3\).
г) \(16t^2-25t+9=0\). Дискриминант \(D=25^2-4\cdot16\cdot9=49\), поэтому \(t=(25\pm7)/32\), то есть \(t=1\) или \(t=9/16\). Отсюда \(x=\pm1,\pm3/4\).
а) \(t^2+15t-16=0=(t-1)(t+16)\). С учётом \(t\geq0\) подходит только \(t=1\), значит, \(x=\pm1\).
б) \(9t^2-32t-16=0\). Дискриминант \(D=32^2+4\cdot9\cdot16=1600\), поэтому \(t=(32\pm40)/18\), то есть \(t=4\) или \(t=-4/9\). Отрицательное значение не подходит, значит, \(x=\pm2\).
а) \(t^2-10t+25=0=(t-5)^2\). Тогда \(x^2=5\), откуда \(x=\pm\sqrt5\).
б) Для \(t^2-3t+9=0\) дискриминант \(D=9-36=-27<0\). Действительных значений \(t\), а значит, и действительных корней \(x\), нет.

Ответ: 1) а) \(x=\pm1,\pm5\); б) \(x=\pm2,\pm4\); в) \(x=\pm2,\pm1/3\); г) \(x=\pm1,\pm3/4\). 2) а) \(x=\pm1\); б) \(x=\pm2\). 3) а) \(x=\pm\sqrt5\); б) действительных корней нет.