3. Решите систему неравенств: a) {x - 4,3 ≥ 0 ; x + 5 ≤ 10 ; б) {x² + x - 12 ≤ 0 ; x - 8 > 0 ; в) {x+3 / x-8 > 0

Решение:

1. a) { x − 4,3 ≥ 0 ; x + 5 ≤ 10 }
   • Решим первое неравенство: x ≥ 4,3
   • Решим второе неравенство: x ≤ 10 − 5 → x ≤ 5
   • Объединим решения: 4,3 ≥ x ≤ 5
2. б) { x² + x − 12 ≤ 0 ; x − 8 > 0 }
   • Решим первое неравенство: x² + x − 12 ≤ 0.
   • Найдем корни уравнения x² + x − 12 = 0.
   • D = 1² − 4 × 1 × (−12) = 1 + 48 = 49.
   • x₁ = (−1 + 7) / 2 = 3.
   • x₂ = (−1 − 7) / 2 = −4.
   • Так как парабола y = x² + x − 12 имеет ветви вверх, то x² + x − 12 ≤ 0 при −4 ≤ x ≤ 3.
   • Решим второе неравенство: x − 8 > 0 → x > 8.
   • Нет пересечения решений первого и второго неравенств.
3. в) { (x+3) / (x-8) > 0 }
   • Найдем корни числителя и знаменателя.
   • Числитель: x + 3 = 0 → x = −3.
   • Знаменатель: x − 8 = 0 → x = 8.
   • Методом интервалов определим знаки выражения на промежутках: (−∞; −3), (−3; 8), (8; +∞).
   • −∞ < x < −3: (+)/(+) = +.
   • −3 < x < 8: (+)/(−) = −.
   • 8 < x < +∞: (+)/(+) = +.
   • Неравенство > 0 выполняется при x < −3 или x > 8.

Ответ: а) [4,3; 5]; б) Решений нет; в) ( −∞; −3) ∪ (8; +∞)