Контрольные задания
Вопрос:

3. Решите неравенство: 1) log_{0,3}(x^2+x-12) > log_{0,3}(6x-6); 2) lg (x^2-x) < lg (3x-3); Упростите выражение: 1) (sin a + sin 5a)(cos 5a - cos a) 1 - cos 6a 2) sin\(\frac{5\pi}{2} - a\) sin\(a-\frac{3\pi}{2}\) + cos\(a-4\pi\)cos\(3\pi-a\); Решите уравнение cos 2x = 1 - cos\(\frac{\pi}{2} - x\). 1. Решите уравнение 6sin^2x + 2sin 2x + 4cos^2x = 3; 2. Решите уравнения и неравенства: 1) sinx + √3 cosx = 0; 2) 2sin^2x + 3sinx cosx + cos^2x = 0; 3) sin 2x 1 + sin x =-2cos x; 4) sin 3x + sinx = sin 2x; 2) cos\(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\) < -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\); 3) 2sin\(\frac{2\pi}{3} - x\) < 1;

Фото заданияФото задания

Ответ:

3. Решение неравенств:

  1. \( \log_{0.3}(x^2+x-12) > \log_{0.3}(6x-6) \)

    ОДЗ:

    • \( x^2+x-12 > 0 \Rightarrow (x+4)(x-3) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -4) \cup (3; \infty) \)
    • \( 6x-6 > 0 \Rightarrow 6x > 6 \Rightarrow x > 1 \)

    Объединяя ОДЗ, получаем \( x \in (3; \infty) \).

    Так как основание логарифма \( 0.3 < 1 \), то:

    • \( x^2+x-12 < 6x-6 \)
    • \( x^2-5x-6 < 0 \)
    • \( (x-6)(x+1) < 0 \)
    • \( -1 < x < 6 \)

    Пересекая \( -1 < x < 6 \) с \( x \in (3; \infty) \), получаем \( x \in (3; 6) \).

  2. \( \lg (x^2-x) < \lg (3x-3) \)

    ОДЗ:

    • \( x^2-x > 0 \Rightarrow x(x-1) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (1; \infty) \)
    • \( 3x-3 > 0 \Rightarrow 3x > 3 \Rightarrow x > 1 \)

    Объединяя ОДЗ, получаем \( x \in (1; \infty) \).

    Так как основание логарифма \( 10 > 1 \), то:

    • \( x^2-x < 3x-3 \)
    • \( x^2-4x+3 < 0 \)
    • \( (x-1)(x-3) < 0 \)
    • \( 1 < x < 3 \)

    Пересекая \( 1 < x < 3 \) с \( x \in (1; \infty) \), получаем \( x \in (1; 3) \).

    3. Упрощение выражений:

    1. \( \frac{(\sin \alpha + \sin 5\alpha)(\cos 5\alpha - \cos \alpha)}{1-\cos 6\alpha} \)

      Используем формулы суммы и разности тригонометрических функций:

      • \( \sin \alpha + \sin 5\alpha = 2 \sin \frac{\alpha+5\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-5\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos(-2\alpha) = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha \)
      • \( \cos 5\alpha - \cos \alpha = -2 \sin \frac{5\alpha+\alpha}{2} \sin \frac{5\alpha-\alpha}{2} = -2 \sin 3\alpha \sin 2\alpha \)
      • \( 1-\cos 6\alpha = 2 \sin^2 3\alpha \)

      Подставляем:

      • \( \frac{(2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha)(-2 \sin 3\alpha \sin 2\alpha)}{2 \sin^2 3\alpha} = \frac{-4 \sin^2 3\alpha \cos 2\alpha \sin 2\alpha}{2 \sin^2 3\alpha} = -2 \cos 2\alpha \sin 2\alpha \)
      • Используем формулу синуса двойного угла \( \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \).
      • \( -\sin 4\alpha \)
    2. \( \sin(\frac{5\pi}{2} - \alpha) \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) + \cos(\alpha - 4\pi)\cos(3\pi - \alpha) \)

      Используем свойства тригонометрических функций:

      • \( \sin(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \)
      • \( \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha \)
      • \( \cos(\alpha - 4\pi) = \cos \alpha \)
      • \( \cos(3\pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha + 2\pi) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha \)

      Подставляем:

      • \( \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \cos \alpha \cdot (-\cos \alpha) = \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 0 \)

    Решение уравнения:

    \( \cos 2x = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - x) \)

    Используем формулу \( \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x \) и \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).

    • \( 1 - 2\sin^2 x = 1 - \sin x \)
    • \( -2\sin^2 x = -\sin x \)
    • \( 2\sin^2 x - \sin x = 0 \)
    • \( \sin x (2\sin x - 1) = 0 \)

    Случай 1: \( \sin x = 0 \) \( \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \)

    Случай 2: \( 2\sin x - 1 = 0 \) \( \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \) \( \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, n, m \in \mathbb{Z} \)

    Ответ: \( x = \pi k, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, k, n, m \in \mathbb{Z} \).

    1. Решение уравнения:

    \( 6\sin^2x + 2\sin 2x + 4\cos^2x = 3 \)

    Используем \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \) и \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \).

    • \( 2\sin^2x + 4(\sin^2x + \cos^2x) + 2(2\sin x \cos x) = 3 \)
    • \( 2\sin^2x + 4 + 4\sin x \cos x = 3 \)
    • \( 2\sin^2x + 4\sin x \cos x + 1 = 0 \)
    • \( 2\sin^2x + 4\sin x \cos x + \sin^2x + \cos^2x = 0 \)
    • \( 3\sin^2x + 4\sin x \cos x + \cos^2x = 0 \)

    Разделим обе части на \( \cos^2x \) (предполагая \( \cos x
    e 0 \)):

    • \( 3\operatorname{tg}^2x + 4\operatorname{tg}x + 1 = 0 \)
    • Пусть \( t = \operatorname{tg}x \). Тогда \( 3t^2 + 4t + 1 = 0 \).
    • \( D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \)
    • \( t_1 = \frac{-4 + 2}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \)
    • \( t_2 = \frac{-4 - 2}{6} = -\frac{6}{6} = -1 \)

    Если \( \operatorname{tg}x = -1 \) \( \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

    Если \( \operatorname{tg}x = -\frac{1}{3} \) \( \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

    Проверим \( \cos x = 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). Тогда \( \sin x = \pm 1 \). Подставим в исходное уравнение:

    • \( 6(\pm 1)^2 + 2(2 \cdot \pm 1 \cdot 0) + 4(0)^2 = 3 \)
    • \( 6 = 3 \) — неверно. Значит, \( \cos x
      e 0 \).

    Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi n, k, n \in \mathbb{Z} \).

    2. Решение уравнений и неравенств:

    1. \( \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \)

      Разделим на \( \cos x \) (если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), \( \pm 1 + 0 = 0 \) - неверно):

      • \( \operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0 \)
      • \( \operatorname{tg} x = -\sqrt{3} \)
      • \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)

      Ответ: \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

    2. \( 2\sin^2x + 3\sin x \cos x + \cos^2x = 0 \)

      Это однородное уравнение. Разделим на \( \cos^2x \) (если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), \( 2(1) + 0 + 0 = 0 \) - неверно):

      • \( 2\operatorname{tg}^2x + 3\operatorname{tg}x + 1 = 0 \)
      • Пусть \( t = \operatorname{tg}x \). Тогда \( 2t^2 + 3t + 1 = 0 \).
      • \( D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \)
      • \( t_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \)
      • \( t_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -\frac{4}{4} = -1 \)

      Случай 1: \( \operatorname{tg}x = -1 \) \( \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

      Случай 2: \( \operatorname{tg}x = -\frac{1}{2} \) \( \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

      Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{2}) + \pi n, k, n \in \mathbb{Z} \).

    3. \( \frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2\cos x \)

      ОДЗ: \( 1 + \sin x
      e 0 \) \( \Rightarrow \sin x
      e -1 \) \( \Rightarrow x
      e -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).

      Используем \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \):

      • \( \frac{2\sin x \cos x}{1 + \sin x} = -2\cos x \)
      • \( 2\sin x \cos x = -2\cos x (1 + \sin x) \)
      • \( 2\sin x \cos x + 2\cos x + 2\sin x \cos x = 0 \)
      • \( 4\sin x \cos x + 2\cos x = 0 \)
      • \( 2\cos x (2\sin x + 1) = 0 \)

      Случай 1: \( \cos x = 0 \) \( \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

      Проверим ОДЗ: \( \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \pm 1 \). \( \sin x
      e -1 \). Значит, \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) не подходят. Подходят \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), но \( \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 \). Значит, \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) не удовлетворяют ОДЗ.

      Случай 2: \( 2\sin x + 1 = 0 \) \( \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2} \) \( \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m, n, m \in \mathbb{Z} \).

      Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

      Ответ: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m, n, m \in \mathbb{Z} \).

    4. \( \sin 3x + \sin x = \sin 2x \)

      Используем формулу суммы синусов:

      • \( 2 \sin \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = \sin 2x \)
      • \( 2 \sin 2x \cos x = \sin 2x \)
      • \( 2 \sin 2x \cos x - \sin 2x = 0 \)
      • \( \sin 2x (2 \cos x - 1) = 0 \)

      Случай 1: \( \sin 2x = 0 \) \( \Rightarrow 2x = \pi k \) \( \Rightarrow x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \).

      Случай 2: \( 2 \cos x - 1 = 0 \) \( \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \) \( \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).

      Ответ: \( x = \frac{\pi k}{2}, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z} \).

    5. \( \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) < -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

      Обозначим \( y = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \). Тогда \( \cos y < -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

      На единичной окружности значения \( y \), для которых \( \cos y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), это \( y = \frac{3\pi}{4} \) и \( y = \frac{5\pi}{4} \).

      Неравенство \( \cos y < -\frac{\sqrt{2}}{2} \) выполняется для \( y \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \).

      Подставляем обратно \( y = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \):

      • \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \)
      • \( \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)
      • \( \frac{9\pi - 4\pi}{12} < \frac{x}{2} < \frac{15\pi - 4\pi}{12} + 2\pi k \)
      • \( \frac{5\pi}{12} < \frac{x}{2} < \frac{11\pi}{12} + 2\pi k \)
      • \( \frac{5\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} \)

      Ответ: \( x \in (\frac{5\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}) + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} \).

    6. \( 2\sin(\frac{2\pi}{3} - x) < 1 \)

      Обозначим \( y = \frac{2\pi}{3} - x \). Тогда \( 2\sin y < 1 \) \( \Rightarrow \sin y < \frac{1}{2} \).

      На единичной окружности \( \sin y = \frac{1}{2} \) при \( y = \frac{\pi}{6} \) и \( y = \frac{5\pi}{6} \).

      Неравенство \( \sin y < \frac{1}{2} \) выполняется для \( y \in (-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \).

      Подставляем обратно \( y = \frac{2\pi}{3} - x \):

      • \( -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < \frac{2\pi}{3} - x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
      • \( -\frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} < -x < \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \)
      • \( -\frac{7\pi + 4\pi}{6} < -x < \frac{\pi - 4\pi}{6} + 2\pi k \)
      • \( -\frac{11\pi}{6} < -x < -\frac{3\pi}{6} + 2\pi k \)
      • \( -\frac{11\pi}{6} < -x < -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \)

      Умножим на \( -1 \), меняя знаки неравенства:

      • \( \frac{\pi}{2} - 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} - 2\pi k \)
      • \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) (замена \( -k = n \))

      Ответ: \( x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{11\pi}{6}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).

📄 Все ответы📸 Решить моё задание