Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника, \( c \) — гипотенуза.
По условию задачи:
\[ a - b = 23 \quad \text{(1)}\]
\[ c = 37 \quad \text{(2)}\]
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставим значение \( c \):
\[ a^2 + b^2 = 37^2 \]
\[ a^2 + b^2 = 1369 \quad \text{(3)}\]
Из уравнения (1) выразим \( a \): \( a = 23 + b \).
Подставим это выражение в уравнение (3):
\[ (23 + b)^2 + b^2 = 1369 \]
\[ 23^2 + 2 \times 23 \times b + b^2 + b^2 = 1369 \]
\[ 529 + 46b + 2b^2 = 1369 \]
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ 2b^2 + 46b + 529 - 1369 = 0 \]
\[ 2b^2 + 46b - 840 = 0 \]
Разделим всё уравнение на 2:
\[ b^2 + 23b - 420 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \times 1 \times (-420) \]
\[ D = 529 + 1680 = 2209 \]
\[ \sqrt{D} = \sqrt{2209} = 47 \]
Найдем значения \( b \):
\[ b_1 = \frac{-23 + 47}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]
\[ b_2 = \frac{-23 - 47}{2} = \frac{-70}{2} = -35 \]
Так как длина катета не может быть отрицательной, \( b = 12 \) см.
Теперь найдём \( a \) из уравнения \( a = 23 + b \):
\[ a = 23 + 12 = 35 \]
Итак, катеты равны \( a = 35 \) см и \( b = 12 \) см.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
\[ S = \frac{1}{2}ab \]
\[ S = \frac{1}{2} \times 35 \times 12 \]
\[ S = 35 \times 6 = 210 \]
Ответ: площадь треугольника равна 210 см2.
