3. Постройте треугольник DEF, если D(-6; 1), E(3; -2), F(1; 3). Напишите координаты точек пересечения большей стороны этого треугольника с осями координат.

Решение:

Для начала найдём длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками \( \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).

Сторона DE:

\( DE = \sqrt{(3 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(3+6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9^2 + 9} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \)

Сторона EF:

\( EF = \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (3+2)^2} = \sqrt{4 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \)

Сторона DF:

\( DF = \sqrt{(1 - (-6))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(1+6)^2 + 2^2} = \sqrt{7^2 + 4} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53} \)

Сравним длины сторон: \( \sqrt{90} \approx 9.48 \), \( \sqrt{29} \approx 5.38 \), \( \sqrt{53} \approx 7.28 \). Наибольшая сторона — DE.

Теперь найдём уравнения прямых, содержащих стороны треугольника, и точки их пересечения с осями координат.

Прямая DE (проходит через D(-6; 1) и E(3; -2)):

Уравнение прямой: \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \)

\( \frac{x - (-6)}{3 - (-6)} = \frac{y - 1}{-2 - 1} \)

\( \frac{x + 6}{9} = \frac{y - 1}{-3} \)

\( -3(x + 6) = 9(y - 1) \)

\( -3x - 18 = 9y - 9 \)

\( 9y = -3x - 9 \)

\( y = -\frac{1}{3}x - 1 \)

Пересечение с осью Oy (x=0): \( y = -1 \). Точка (0; -1).

Пересечение с осью Ox (y=0): \( 0 = -\frac{1}{3}x - 1 \) \( \frac{1}{3}x = -1 \) \( x = -3 \). Точка (-3; 0).

Прямая EF (проходит через E(3; -2) и F(1; 3)):

\( \frac{x - 3}{1 - 3} = \frac{y - (-2)}{3 - (-2)} \)

\( \frac{x - 3}{-2} = \frac{y + 2}{5} \)

\( 5(x - 3) = -2(y + 2) \)

\( 5x - 15 = -2y - 4 \)

\( 2y = -5x + 11 \)

\( y = -\frac{5}{2}x + \frac{11}{2} \)

Пересечение с осью Oy (x=0): \( y = \frac{11}{2} = 5,5 \). Точка (0; 5.5).

Пересечение с осью Ox (y=0): \( 0 = -\frac{5}{2}x + \frac{11}{2} \) \( \frac{5}{2}x = \frac{11}{2} \) \( x = \frac{11}{5} = 2,2 \). Точка (2.2; 0).

Прямая DF (проходит через D(-6; 1) и F(1; 3)):

\( \frac{x - (-6)}{1 - (-6)} = \frac{y - 1}{3 - 1} \)

\( \frac{x + 6}{7} = \frac{y - 1}{2} \)

\( 2(x + 6) = 7(y - 1) \)

\( 2x + 12 = 7y - 7 \)

\( 7y = 2x + 19 \)

\( y = \frac{2}{7}x + \frac{19}{7} \)

Пересечение с осью Oy (x=0): \( y = \frac{19}{7} \). Точка \(0; \frac{19}{7}\).

Пересечение с осью Ox (y=0): \( 0 = \frac{2}{7}x + \frac{19}{7} \) \( \frac{2}{7}x = -\frac{19}{7} \) \( x = -\frac{19}{2} = -9.5 \). Точка (-9.5; 0).

Наибольшая сторона — DE.

Координаты точек пересечения прямой DE с осями координат: \( (-3; 0) \) и \( (0; -1) \).

Ответ: Координаты точек пересечения большей стороны DE с осями координат: (-3; 0) и (0; -1).