3. Постройте график функции y = x² + 4x − 5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значений; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Преобразуем выражение:

\(y=x^2+4x-5=(x+2)^2-9\).

График — парабола, ветви направлены вверх. Вершина: \(V(-2;-9)\). Пересечения с осью \(Ox\): \((-5;0)\) и \((1;0)\); пересечение с осью \(Oy\): \((0;-5)\).

а) Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\). Область значений: \(E(y)=[-9;+\infty)\).

б) Нули функции:

\(x^2+4x-5=0\);

\((x+5)(x-1)=0\), поэтому \(x_1=-5\), \(x_2=1\).

в) Так как ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне корней и отрицательна между корнями:

• \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\);
• \(y<0\) при \(x\in(-5;1)\);
• \(y=0\) при \(x=-5\) и \(x=1\).

г) Функция убывает на \((-\infty;-2)\) и возрастает на \((-2;+\infty)\).

д) Наименьшее значение функции равно \(-9\) при \(x=-2\). Наибольшего значения функция не имеет.

Ответ: а) \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=[-9;+\infty)\); б) \(x=-5,1\); в) положительна на \((-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\), отрицательна на \((-5;1)\); г) убывает на \((-\infty;-2)\), возрастает на \((-2;+\infty)\); д) минимум \(-9\), максимума нет.