3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 67 см. Одна из сторон этого треугольника на 7 см. больше другой. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Обозначим стороны равнобедренного тупоугольного треугольника.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые стороны), а третья отличается (основание).

У нас есть два возможных случая, так как мы не знаем, какая именно сторона на 7 см. больше другой:

• Случай 1: Основание больше боковой стороны на 7 см.
• Пусть боковая сторона равна x см.
• Тогда основание равно x + 7 см.
• Периметр: x + x + (x + 7) = 3x + 7
• По условию периметр равен 67 см: 3x + 7 = 67
• 3x = 67 - 7
• 3x = 60
• x = 60 / 3
• x = 20 см (боковая сторона)
• Основание = x + 7 = 20 + 7 = 27 см.
• Стороны: 20 см, 20 см, 27 см.
• Проверка на тупоугольность: В тупоугольном треугольнике квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон. Здесь большая сторона 27. 27² = 729. 20² + 20² = 400 + 400 = 800. Так как 729 < 800, этот треугольник остроугольный или прямоугольный. Значит, этот случай не подходит.
• Случай 2: Боковая сторона больше основания на 7 см.
• Пусть основание равно x см.
• Тогда боковая сторона равна x + 7 см.
• Периметр: (x + 7) + (x + 7) + x = 3x + 14
• По условию периметр равен 67 см: 3x + 14 = 67
• 3x = 67 - 14
• 3x = 53
• x = 53 / 3 см (основание)
• Боковая сторона = x + 7 = 53/3 + 7 = 53/3 + 21/3 = 74/3 см.
• Стороны: 53/3 см, 74/3 см, 74/3 см.
• Приведем к общему знаменателю: 53/3 ≈ 17.67 см, 74/3 ≈ 24.67 см.
• Стороны: ≈ 17.67 см, ≈ 24.67 см, ≈ 24.67 см.
• Проверка на тупоугольность: Большие стороны — боковые. (74/3)² ≈ 24.67² ≈ 608.6. Основание² = (53/3)² ≈ 17.67² ≈ 312.2. Сумма квадратов боковых сторон: 2 * (74/3)² ≈ 2 * 608.6 = 1217.2. Сумма квадратов двух меньших сторон (основание и одна боковая, если предположить, что основание самое большое): (53/3)² + (74/3)² ≈ 312.2 + 608.6 = 920.8.
• Давайте проверим условие тупоугольности: квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон. В данном случае, самая большая сторона - боковая, 74/3.
• (74/3)² = 5476/9 ≈ 608.44.
• Сумма квадратов двух других сторон: (53/3)² + (74/3)² = 2809/9 + 5476/9 = 8285/9 ≈ 920.56.
• Здесь (74/3)² < (53/3)² + (74/3)², что говорит об остроугольном треугольнике.
• Переосмыслим условие: