№ 3. OK = 6 cm, угол MON = 120°. Найти радиус окружности.

Решение:

В треугольнике \( \triangle MON \) стороны \( OM \) и \( ON \) являются радиусами окружности, поэтому \( OM = ON = r \). Треугольник \( \triangle MON \) — равнобедренный.

Угол \( \angle MON = 120^{\circ} \).

В равнобедренном треугольнике \( \triangle MON \) проведем высоту \( OH \) из вершины \( O \) к основанию \( MN \). Высота \( OH \) также является биссектрисой угла \( \angle MON \) и медианой, делящей \( MN \) пополам. Значит, \( \angle MOH = \angle NOH = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OMK \) (по условию \( OK = 6 \) см, а \( OM = r \)). Угол \( \angle MON = 120^{\circ} \). В задаче №3 изображен треугольник MON, где OK является касательной к окружности в точке M. Тогда \( OM \) — радиус, а \( OK \) — касательная. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит, \( \angle OMK = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OMK \):

\( \cos(\angle MOK) = \frac{OM}{OK} \)

Из условия задачи \( \angle MON = 120^{\circ} \). На чертеже видно, что \( OK \) является биссектрисой \( \angle MON \), что невозможно, так как \( OK \) — касательная. Предположим, что \( OK \) — это линия, соединяющая центр \( O \) с точкой \( K \), и \( KM \) и \( KN \) — касательные к окружности.

Тогда \( \triangle OMK \) и \( \triangle ONK \) — прямоугольные треугольники, так как радиус \( OM \) перпендикулярен касательной \( KM \), и радиус \( ON \) перпендикулярен касательной \( KN \). Следовательно, \( \angle OMK = 90^{\circ} \) и \( \angle ONK = 90^{\circ} \).

В равнобедренном треугольнике \( \triangle MON \) (где \( OM=ON=r \)), \( \angle MON = 120^{\circ} \). Тогда \( \angle OMK \) и \( \angle ONK \) не могут быть \( 90^{\circ} \) если \( K \) находится так, как показано на чертеже. Если \( KM \) и \( KN \) касательные, то \( \angle OMK=90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle OMK \): \( OK = 6 \) см, \( OM = r \). Угол \( \angle MON = 120^{\circ} \). Из рисунка видно, что \( \angle MOK \) является половиной \( \angle MON \) только если \( OK \) является биссектрисой, что противоречит тому, что \( OK \) — гипотенуза в \( \triangle OMK \) где \( OM \) — катет.

Предположим, что \( OK=6 \) см — это длина отрезка от центра \( O \) до точки \( K \). И \( KM \) и \( KN \) — касательные. Тогда \( \angle OMK = 90^{\circ} \).

В \( \triangle OMK \):

\( \cos(\angle MOK) = \frac{OM}{OK} = \frac{r}{6} \)

Из \( \triangle MON \), где \( OM=ON=r \) и \( \angle MON=120^{\circ} \), мы можем найти длину хорды \( MN \) по теореме косинусов:

\[ MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(120^{\circ}) \]

\[ MN^2 = r^2 + r^2 - 2r^2(-\frac{1}{2}) = 2r^2 + r^2 = 3r^2 \]

\[ MN = r\cdot\sqrt{3} \]

Если \( KM \) и \( KN \) — касательные, то \( OK \) делит \( \angle MON \) пополам, тогда \( \angle MOK = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle OMK \) (где \( \angle OMK = 90^{\circ} \)):

\[ \cdot OM = OK \cdot \sin(\angle OKM) \]

\[ OM = OK \cdot \cos(\angle MOK) \]

\[ r = 6 \cdot \cos(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \]

Радиус окружности равен 3 см.

Ответ: радиус окружности равен 3 см.