3. Найти все решения уравнения sin\(x - \frac{\pi}{3}\) = 0,5, удовлетворяющие неравенству x² – 4π² < 0.

3. Найти все решения уравнения sin\(x - \frac{\pi}{3}\) = 0,5, удовлетворяющие неравенству x² – 4π² < 0.

Шаг 1: Решаем уравнение sin\(x - \frac{\pi}{3}\) = 0,5

Пусть \( y = x - \frac{\pi}{3} \). Тогда \( \sin y = 0,5 \).

Известно, что \( \sin y = 0,5 \) при \( y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Подставляем обратно \( x - \frac{\pi}{3} \) вместо \( y \):

1) \( x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{2\pi + \pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \)

2) \( x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{2\pi + 5\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \)

Шаг 2: Решаем неравенство x² – 4π² < 0

\( x^2 < 4\pi^2 \)

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

\( |x| < 2\pi \)

Это означает, что \( -2\pi < x < 2\pi \).

Шаг 3: Отбираем решения уравнения, удовлетворяющие неравенству

Рассмотрим полученные решения для \( x \) в интервале \( (-2\pi, 2\pi) \).

Для \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \):

• При \( k=0 \): \( x = \frac{\pi}{2} \). Это значение находится в интервале \( (-2\pi, 2\pi) \).
• При \( k=1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \). Это значение больше \( 2\pi \), поэтому не подходит.
• При \( k=-1 \): \( x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \). Это значение находится в интервале \( (-2\pi, 2\pi) \).

Для \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \):

• При \( k=0 \): \( x = \frac{7\pi}{6} \). Это значение находится в интервале \( (-2\pi, 2\pi) \).
• При \( k=1 \): \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \). Это значение больше \( 2\pi \), поэтому не подходит.
• При \( k=-1 \): \( x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi - 12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \). Это значение находится в интервале \( (-2\pi, 2\pi) \).

Таким образом, решениями, удовлетворяющими неравенству, являются: \( \frac{\pi}{2} \), \( -\frac{3\pi}{2} \), \( \frac{7\pi}{6} \), \( -\frac{5\pi}{6} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \) для \( k = -1, 0 \). Или: \( x = \frac{\pi}{2}, x = -\frac{3\pi}{2}, x = \frac{7\pi}{6}, x = -\frac{5\pi}{6} \).