№3. Найти интервалы возрастания и убывания функции: f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 17

Решение:

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нам нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю, найти критические точки и определить знаки производной на интервалах.

1. Находим производную функции:

   f'(x) = \( \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x - 17) \)

   f'(x) = \( 6x^2 - 6x - 12 \)

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

   f'(x) = 0

   \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]

   Разделим обе части на 6:

   \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

   Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \).

3. Определяем знаки производной на интервалах:

   Критические точки \( x = -1 \) и \( x = 2 \) делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \) и \( (2, +\infty) \).

   Выберем тестовые точки из каждого интервала:

   • Для интервала \( (-\infty, -1) \), возьмем \( x = -2 \):
     f'(-2) = \( 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 6(4) + 12 - 12 = 24 \) (знак '+', функция возрастает).
   • Для интервала \( (-1, 2) \), возьмем \( x = 0 \):
     f'(0) = \( 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 \) (знак '-', функция убывает).
   • Для интервала \( (2, +\infty) \), возьмем \( x = 3 \):
     f'(3) = \( 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 6(9) - 18 - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \) (знак '+', функция возрастает).
4. Записываем интервалы возрастания и убывания:

Функция возрастает, когда \( f'(x) > 0 \).

Функция убывает, когда \( f'(x) < 0 \).

Интервалы возрастания: \( (-\infty, -1) \) и \( (2, +\infty) \).

Интервал убывания: \( (-1, 2) \).

Ответ:
Возрастание: \( x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty) \)
Убывание: \( x \in [-1, 2] \)