3. Найдите значение выражения: 1) \(\frac{5}{9} + \frac{4}{9} \cdot 3\frac{1}{6} \cdot \left\(\frac{4}{19} + 1\frac{5}{38} - \frac{75}{76}\right\);

Решение:

1. Сначала выполним действия в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю 76: \(\( \frac{4}{19} = \frac{4 \cdot 4}{19 \cdot 4} = \frac{16}{76} \)\, \( 1\frac{5}{38} = \frac{38+5}{38} = \frac{43}{38} = \frac{43 \cdot 2}{38 \cdot 2} = \frac{86}{76} \)\)
2. Вычислим значение в скобках: \(\( \frac{16}{76} + \frac{86}{76} - \frac{75}{76} = \frac{16 + 86 - 75}{76} = \frac{102 - 75}{76} = \frac{27}{76} \)\)
3. Теперь выполним умножение. Переведём смешанное число в неправильную дробь: \(\( 3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{19}{6} \)\)
4. Умножим дроби: \(\( \frac{4}{9} \cdot \frac{19}{6} \cdot \frac{27}{76} \)\)
5. Сократим дроби перед умножением: \(\( \frac{4}{9} \cdot \frac{19}{6} \cdot \frac{27}{76} = \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}^1} \cdot \frac{\cancel{19}^1}{\cancel{6}^3} \cdot \frac{\cancel{27}^3}{\cancel{76}^4} \)\)
6. Результат умножения: \(\( \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{1 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \)\)
7. Сложим первое слагаемое с результатом умножения: \(\( \frac{5}{9} + \frac{1}{4} \)\)
8. Приведём к общему знаменателю 36: \(\( \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{20}{36} + \frac{9}{36} = \frac{29}{36} \)\)

Ответ: \(\frac{29}{36}\).