3. Найдите точку минимума функции

Краткое пояснение:

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти первую производную, приравнять её к нулю, найти критические точки и проанализировать знак производной на интервалах.

Пошаговое решение:

Дана функция \( y = (3 - x)e^{3-x} \).

1. Находим первую производную функции: Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = 3 - x \) и \( v = e^{3-x} \).
2. Производная от \( u \): \( u' = -1 \).
3. Производная от \( v \): \( v' = e^{3-x} \cdot (3-x)' = e^{3-x} oldsymbol{\cdot} (-1) = -e^{3-x} \).
4. Применяем правило производной произведения: \( y' = (-1) \cdot e^{3-x} + (3 - x) \cdot (-e^{3-x}) \) \( \implies y' = -e^{3-x} - (3 - x)e^{3-x} \).
5. Выносим общий множитель \( -e^{3-x} \): \( y' = -e^{3-x} (1 + (3 - x)) \) \( \implies y' = -e^{3-x} (1 + 3 - x) \) \( \implies y' = -e^{3-x} (4 - x) \).
6. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: \( -e^{3-x} (4 - x) = 0 \). Поскольку \( e^{3-x} \) всегда положительна, то \( 4 - x = 0 \) \( \implies x = 4 \).
7. Анализируем знак производной на интервалах:
   • При \( x < 4 \) (например, \( x = 3 \)): \( y' = -e^{3-3} (4 - 3) = -e^0 (1) = -1 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \( y' = -e^{3-5} (4 - 5) = -e^{-2} (-1) = e^{-2} > 0 \). Функция возрастает.
8. Вывод: Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс в точке \( x = 4 \), это точка минимума.

Ответ: Точка минимума функции — \( x = 4 \).