3. Найдите периметр равнобедренного треугольника ABC, если его основание AC равно 24, а высота BH образует с боковой стороной угол, синус которого равен 0,6.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, высота BH является также медианой и биссектрисой. Поэтому AH = HC = AC/2 = 24/2 = 12.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Угол BHС = 90 градусов.

Нам дан синус угла BCH (угол при основании равнобедренного треугольника): \( \sin C = 0.6 \).

В прямоугольном треугольнике BHC:

• \( \sin C = \frac{BH}{BC} \)
• \( \cos C = \frac{HC}{BC} \)

Мы знаем \( \sin C = 0.6 \). Найдем \( \cos C \) по основному тригонометрическому тождеству: \( \sin^2 C + \cos^2 C = 1 \).

\( \cos^2 C = 1 - \sin^2 C = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 \).

\( \cos C = \sqrt{0.64} = 0.8 \) (так как угол C острый в треугольнике).

Теперь найдем длину боковой стороны BC:

\( \cos C = \frac{HC}{BC} \) → \( BC = \frac{HC}{\cos C} = \frac{12}{0.8} = \frac{120}{8} = 15 \).

Так как треугольник равнобедренный, AB = BC = 15.

Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех сторон:

P = AB + BC + AC = 15 + 15 + 24 = 54.

Ответ: 54.