3. Найдите неизвестные углы параллелограмма ABCD, если диагонали AC и DB пересекаются в точке O, DO = OC, а один из углов между диагоналями равен 70°.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому их половины равны. Отметки на рисунке показывают, что треугольник DOC равнобедренный: DO = OC.

Угол DOC вертикален отмеченному углу между диагоналями, поэтому ∠DOC = 70°. Тогда углы при основании равны:

∠ODC = ∠DCO = (180° − 70°) : 2 = 55°.

Диагональ DB делит угол D на части ∠ADO и ∠ODC, а диагональ AC делит угол C на части ∠DCO и ∠OCB. По параллельности сторон получаем ∠ADO = ∠OCB и ∠DCO = ∠OBC. Следовательно, внутренние углы параллелограмма равны:

∠D = ∠B = 55° + 55° = 110°, а смежные с ними углы ∠A = ∠C = 70°.

Ответ: ∠A = ∠C = 70°, ∠B = ∠D = 110°.