3. Найдите координаты точек пересечения параболы y=8x² и прямой: a) y=2x+1; в) y = 32;

Решение задачи:

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы и прямой, нужно приравнять их уравнения и решить полученное уравнение относительно x. Затем найденные значения x подставить в любое из уравнений (параболы или прямой) для нахождения соответствующих значений y.

Подпункт а) y = 2x + 1

1. Шаг 1: Приравниваем уравнения параболы и прямой:
   \( 8x^2 = 2x + 1 \)
2. Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \( 8x^2 - 2x - 1 = 0 \)
3. Шаг 3: Решаем квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a=8 \), \( b=-2 \), \( c=-1 \).
   \( D = (-2)^2 - 4 · 8 · (-1) = 4 + 32 = 36 \)
4. Шаг 4: Находим корни уравнения по формуле \( x = \frac{-b ± √{D}}{2a} \).
   \( x_1 = \frac{-(-2) + √{36}}{2 · 8} = \frac{2 + 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \)
   \( x_2 = \frac{-(-2) - √{36}}{2 · 8} = \frac{2 - 6}{16} = \frac{-4}{16} = -rac{1}{4} \)
5. Шаг 5: Находим соответствующие значения y, подставляя x в уравнение прямой \( y = 2x + 1 \).
   Для \( x_1 = ½ \):
   \( y_1 = 2 · ½ + 1 = 1 + 1 = 2 \)
   Для \( x_2 = -¼ \):
   \( y_2 = 2 · (-¼) + 1 = -½ + 1 = ½ \)

Ответ для а): Координаты точек пересечения: \( (½; 2) \) и \( (-¼; ½) \).

Подпункт в) y = 32

1. Шаг 1: Приравниваем уравнения параболы и прямой:
   \( 8x^2 = 32 \)
2. Шаг 2: Решаем уравнение относительно x:
   \( x^2 = \frac{32}{8} \)
   \( x^2 = 4 \)
3. Шаг 3: Находим значения x:
   \( x = ±√{4} \)
   \( x_1 = 2 \)
   \( x_2 = -2 \)
4. Шаг 4: Находим соответствующие значения y. Так как прямая задана уравнением \( y = 32 \), то для обоих значений x значение y будет 32.

Ответ для в): Координаты точек пересечения: \( (2; 32) \) и \( (-2; 32) \).