3. Найдите: 1) $\alpha$, если $\sin\alpha=\frac14$ и $0^\circ<\alpha<90^\circ$; 2) $\sin\alpha$, если $\cos\alpha=\frac13$; 3) $\cos\alpha$, если $\sin\alpha=\frac19$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Найдите: 1) $\alpha$, если $\sin\alpha=\frac14$ и $0^\circ<\alpha<90^\circ$; 2) $\sin\alpha$, если…$ Фото задания

Accepted Answer

Находим угол по обратной функции синуса: $\alpha=\arcsin\frac14\approx14{,}48^\circ$.
Используем $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. Так как $\cos\alpha=\frac13>0$, в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ угол лежит в первой четверти, и синус положителен: $\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}$.
Из тождества получаем $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\left(\frac19\right)^2}=\pm\sqrt{\frac{80}{81}}=\pm\frac{4\sqrt5}{9}$. При углах от $0^\circ$ до $180^\circ$ синус положителен в обеих четвертях, поэтому возможны оба знака косинуса.

Ответ: 1) $\alpha\approx14{,}48^\circ$; 2) $\frac{2\sqrt2}{3}$; 3) $\pm\frac{4\sqrt5}{9}$.

3. Найдите: 1) \(\alpha\), если \(\sin\alpha=\frac14\) и \(0^\circ<\alpha<90^\circ\); 2) \(\sin\alpha\), если \(\cos\alpha=\frac13\); 3) \(\cos\alpha\), если \(\sin\alpha=\frac19\).