3. На рисунке треугольник АВС — равнобедренный с основанием АВ, AB = AC, CM — медиана, ВК — высота. Укажите верные утверждения. 1) Медиана СМ является высотой 2) Высота ВК является биссектрисой 3) T — точка пересечения биссектрис 4) Т — точка пересечения высот

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB, где AB = AC, медиана CM, проведённая к основанию AB, также является высотой и биссектрисой. Однако, в данном случае основанием является AB, а боковые стороны AB и AC равны. Это означает, что треугольник равнобедренный с основанием BC. Если AB = AC, то основанием является BC. В этом случае медиана CM, проведённая к стороне AB, не обязательно будет высотой.

Проанализируем утверждения:

1. Медиана CM является высотой. Это верно только в том случае, если треугольник равнобедренный с основанием BC (так как CM проведена к AB, а не к BC). В условии сказано, что основание - AB, следовательно, AB=BC. Но также указано AB=AC, что означает AB=AC=BC, т.е. равносторонний треугольник. В равностороннем треугольнике медиана является и высотой, и биссектрисой. Если основание AB, то AC=BC. Но условие AB=AC. Следовательно, AB=AC=BC, т.е. равносторонний. В равностороннем треугольнике медиана к любой стороне является высотой.
2. Высота ВК является биссектрисой. В равностороннем треугольнике высота также является биссектрисой.
3. T — точка пересечения биссектрис. В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке (центр вписанной окружности).
4. Т — точка пересечения высот. В любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке (ортоцентр).

Учитывая, что AB = AC, треугольник равнобедренный с основанием BC. Медиана CM проведена к стороне AB. Высота ВК проведена к стороне AC.

В равнобедренном треугольнике (AB=AC, основание BC):

• Медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. CM проведена к AB, не к основанию BC.
• Высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. ВК проведена к AC, не к основанию BC.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC (AB=AC):

1) Медиана CM проведена к боковой стороне AB. Она не обязательно является высотой.

2) Высота ВК проведена к боковой стороне AC. Она не обязательно является биссектрисой.

Если же треугольник равнобедренный с основанием AB, то AC = BC. Но по условию AB = AC. Следовательно, AB = AC = BC, то есть треугольник равносторонний. В равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают.

Если треугольник равносторонний:

1. Медиана CM является высотой.
2. Высота ВК является биссектрисой.
3. Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности.
4. Точка пересечения высот - ортоцентр. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности и ортоцентр совпадают.

Поскольку в условии сказано "равнобедренный с основанием AB", это значит, что AC=BC. Но далее написано "AB = AC". Следовательно, AB = AC = BC, то есть треугольник равносторонний. В равностороннем треугольнике все утверждения верны.

Ответ: 1, 2, 3, 4