3. На рисунке точка К является серединой отрезков AD и ВС. Докажите, что прямые АВ и CD параллельны. Дано: Найти: Решение:

Дано:

Точка K — середина отрезков AD и BC.

Найти:

Доказать, что AB || CD.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle AKB \) и \( \triangle DKC \).

1. \( AK = KD \) — так как K — середина AD (по условию).

2. \( BK = KC \) — так как K — середина BC (по условию).

3. \( \angle AKB = \angle DKC \) — как вертикальные углы.

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle AKB = \triangle DKC \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

\( \angle KAB = \angle KDC \).

Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AD.

Так как накрест лежащие углы равны, то прямые AB и CD параллельны.

Что и требовалось доказать.