3. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ прямой. Отрезок ВС - диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС, равны.

Доказательство:

Для доказательства равенства хорд АВ и АС, мы можем рассмотреть треугольники, в которых они являются сторонами, и доказать равенство этих треугольников.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольник АВС. Так как отрезок ВС является диаметром окружности, а точка А лежит на окружности, то угол ВАС, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, угол ВАС = 90°.
2. Шаг 2: В треугольнике АВС, угол АОВ является прямым, что означает, что угол АОС = 180° - 90° = 90°. Так как центр окружности О, а точки А, В, С лежат на окружности, то OA, OB, OC являются радиусами окружности.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольники АОВ и АОС.
   
   • AO - общий катет.
   • Угол AOB - прямой (дано по условию, 90°).
   • Угол AOC - также прямой, так как он смежный с углом AOB и его сумма равна 180° (BC - диаметр).
   
   Треугольники АОВ и АОС не могут быть равны по этим двум признакам, потому что угол АОВ является центральным, а угол ВАС — вписанным.
4. Шаг 4: Вернемся к треугольнику АВС. Мы знаем, что угол ВАС = 90°. Отрезок АВ и АС являются хордами.
   Рассмотрим треугольники АОВ и СОА.
   
   • OA = OB (радиусы окружности).
   • OA = OC (радиусы окружности).
   • Угол AOB = 90° (дано).
   • Угол AOC = 180° - 90° = 90° (смежные углы).
   
   Следовательно, треугольник АОВ и треугольник СОА равны по двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников), если мы рассматриваем углы, образованные радиусами.
5. Шаг 5: Из равенства треугольников АОВ и СОА следует, что их соответствующие стороны равны. Таким образом, хорда АВ = хорде АС.