3) log₅(7-x) = log₅(3-x)+1

Решение:

Для решения уравнения \( \log_5(7-x) = \log_5(3-x) + 1 \) сначала преобразуем его, чтобы все логарифмы оказались по одну сторону.

Перенесём \( \log_5(3-x) \) влево:

\[ \log_5(7-x) - \log_5(3-x) = 1 \]

Используем свойство логарифма: \( \log_b M - \log_b N = \log_b \frac{M}{N} \).

\[ \log_5 \frac{7-x}{3-x} = 1 \]

Теперь применим определение логарифма: если \( \log_b a = c \), то \( b^c = a \).

\[ 5^1 = \frac{7-x}{3-x} \]\[ 5 = \frac{7-x}{3-x} \]

Решим полученное дробно-рациональное уравнение:

\[ 5(3-x) = 7-x \]\[ 15 - 5x = 7 - x \]

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 15 - 7 = 5x - x \]\[ 8 = 4x \]\[ x = \frac{8}{4} \]\[ x = 2 \]

Теперь необходимо проверить область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

• \( 7-x > 0 → 7 > x \)
• \( 3-x > 0 → 3 > x \)

Объединяя условия, получаем \( x < 3 \).

Найденное значение \( x = 2 \) удовлетворяет условию \( x < 3 \).

Ответ: \( x = 2 \).