3. Какую цифру можно записать вместо звездочки в числе 681*, чтобы оно: а) делилось на 9; б) делилось на 5; в) было кратно 6?

Решение:

Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Сумма цифр числа 681* равна \( 6 + 8 + 1 + * = 15 + * \). Ближайшее число, кратное 9, которое больше 15, это 18. \( 15 + * = 18 \) ⇒ \( * = 3 \).

Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5. Значит, \( * = 0 \) или \( * = 5 \).

Чтобы число было кратно 6, оно должно делиться и на 2, и на 3. Для делимости на 3 сумма цифр должна делиться на 3. \( 15 + * \) должно делиться на 3. Возможные значения для *: 0, 3, 6, 9 (так как \( 15 + 0 = 15 \), \( 15 + 3 = 18 \), \( 15 + 6 = 21 \), \( 15 + 9 = 24 \)). Для делимости на 2 последняя цифра должна быть чётной. Из возможных значений 0, 3, 6, 9, чётные — это 0 и 6. Таким образом, \( * = 0 \) или \( * = 6 \).

Ответ: а) 3; б) 0 или 5; в) 0 или 6.