3) Какое число больше: a) lg 7 или 3 lg 2; б) log₁ 5 или log₁ 6; 3 3 в) log₃ 5 или log₃ 6; г) log₂ 3 или log₃ 2?

Решение:

Для сравнения чисел, содержащих логарифмы, воспользуемся свойствами логарифмов и степеней.

а) lg 7 или 3 lg 2

1. Преобразуем второе слагаемое: \( 3 \lg 2 = \lg 2^3 = \lg 8 \).
2. Сравниваем \( \lg 7 \) и \( \lg 8 \). Так как основание логарифма \( 10 > 1 \), функция возрастающая. Следовательно, \( \lg 8 > \lg 7 \).

Ответ: 3 lg 2 больше.

б) log₁ 5 или log₁ 6

Основание логарифма \( \frac{1}{3} < 1 \), значит, функция убывающая.

1. Сравниваем \( \log_{1/3} 5 \) и \( \log_{1/3} 6 \).
2. Так как функция убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: \( \log_{1/3} 6 < \log_{1/3} 5 \).

Ответ: log₁ 5 больше.

в) log₃ 5 или log₃ 6

1. Основание логарифма \( 3 > 1 \), значит, функция возрастающая.
2. Сравниваем \( \log_3 5 \) и \( \log_3 6 \).
3. Так как функция возрастающая, большему значению аргумента соответствует большее значение функции: \( \log_3 6 > \log_3 5 \).

Ответ: log₃ 6 больше.

г) log₂ 3 или log₃ 2

1. Рассмотрим первый логарифм: \( \log_2 3 \). Так как \( 2^1 = 2 \) и \( 2^2 = 4 \), то \( 1 < \log_2 3 < 2 \).
2. Рассмотрим второй логарифм: \( \log_3 2 \). Так как \( 3^0 = 1 \) и \( 3^1 = 3 \), то \( 0 < \log_3 2 < 1 \).
3. Сравниваем полученные диапазоны: \( 1 < \log_2 3 < 2 \) и \( 0 < \log_3 2 < 1 \).
4. Очевидно, что \( \log_2 3 \) больше, так как оно находится в диапазоне от 1 до 2, а \( \log_3 2 \) — от 0 до 1.

Ответ: log₂ 3 больше.