3. Из центра окружности О к хорде АВ проведен перпендикуляр ОС, равный 20 см. Найдите хорду АВ, если ∠OAB = 45°.

Решение:

Дан круг с центром О. ОС — перпендикуляр к хорде АВ, \( OC = 20 \) см. \( \angle OAB = 45° \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle OAB \). OA и OB — радиусы окружности, поэтому \( OA = OB \). Следовательно, \( \triangle OAB \) — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, \( \angle OBA = \angle OAB = 45° \).

Найдем угол \( \angle AOB \):

\( \angle AOB = 180° - (\angle OAB + \angle OBA) = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90° \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OAC \). \( \angle OCA = 90° \) (по условию, ОС — перпендикуляр).

В \( \triangle OAC \):

\( \angle AOC \) — половина угла \( \angle AOB \), так как ОС является высотой и медианой в равнобедренном \( \triangle OAB \).

\( \angle AOC = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{90°}{2} = 45° \).

Так как \( \angle OAC = 45° \) и \( \angle AOC = 45° \), то \( \triangle OAC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Следовательно, \( AC = OC = 20 \) см.

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит хорду пополам. Значит, \( AC = CB \).

Хорда \( AB = AC + CB = 2 \cdot AC \).

\( AB = 2 \cdot 20 \) см = \( 40 \) см.

Ответ: 40 см.