3. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ДАОВ= 60° и МА = 7.

Решение:

В данном случае у нас есть окружность с центром O, и к ней проведены касательные MA и MB из точки M. Точки касания — A и B. Нам дано, что угол ∠AOB = 60°, а длина отрезка MA = 7. Требуется найти расстояние между точками касания, то есть длину отрезка AB.

1. Свойства касательных: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Поэтому MA = MB = 7.
2. Свойства радиусов: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, OA ⊥ MA и OB ⊥ MB. Это значит, что треугольники △MAO и △MBO являются прямоугольными.
3. Рассмотрим треугольник △AOB: Поскольку OA и OB — радиусы окружности, то OA = OB. Это делает треугольник △AOB равнобедренным.
4. Угол ∠AOB: Нам дано, что ∠AOB = 60°. В равнобедренном треугольнике, если угол при вершине равен 60°, то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, OA = OB = AB.
5. Нахождение радиуса (OA): Рассмотрим прямоугольный треугольник △MAO. Мы знаем, что MA = 7. Угол ∠AOB = 60°. Отрезок OM делит угол ∠AOB пополам, поэтому ∠AOM = ∠BOM = 60° / 2 = 30°. Также отрезок OM является биссектрисой угла ∠AMB и медианой, проведенной к стороне AB. В прямоугольном треугольнике △MAO, отношение противолежащего катета (OA) к прилежащему катету (MA) равно тангенсу угла ∠AMO. Однако, нам известен угол ∠AOM = 30°.
6. Используем тригонометрию: В прямоугольном треугольнике △MAO:
   • tan(∠AMO) = OA / MA
   • sin(∠AMO) = OA / OM
   • cos(∠AMO) = MA / OM
   Мы знаем MA = 7 и ∠AOM = 30°. В прямоугольном треугольнике △MAO:
   • sin(∠AOM) = MA / OM => sin(30°) = 7 / OM => 1/2 = 7 / OM => OM = 14.
   • tan(∠AOM) = MA / OA => tan(30°) = 7 / OA => 1/√3 = 7 / OA => OA = 7√3.
7. Нахождение AB: Поскольку △AOB равносторонний, то AB = OA = OB. Следовательно, AB = 7√3.

Ответ: 7√3