3) Из точки К к окружности с центром в точке О проведены касательные КМ и КП (точки М и П лежат на окружности), длина отрезка КО 10 см, угол MON равен 120°. Найти радиус окружности.

Решение:

Дано:

• Окружность с центром в точке О.
• КМ и КП – касательные, М и П – точки касания.
• КО = 10 см.
• Угол MON = 120°.

Найти: Радиус окружности (R).

1. Свойства касательных:

• Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, угол KMO = 90° и угол KPO = 90°.
• Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны: КМ = КП.
• Отрезок КО, соединяющий центр окружности с точкой касания, делит угол между касательными пополам и угол между радиусами пополам.

2. Рассматриваем треугольник KMO:

• Это прямоугольный треугольник (угол KMO = 90°).
• КО – гипотенуза, КО = 10 см.
• МО – катет, МО = R (радиус окружности).
• КМ – катет.

3. Угол MON:

• Угол MON = 120° – это центральный угол, опирающийся на дугу MN.
• Так как КО делит угол MON пополам, то угол MOK = Угол POK = 120° / 2 = 60°.

4. Находим радиус в треугольнике KMO:

• Мы знаем гипотенузу КО = 10 см и угол MOK = 60°.
• Нам нужно найти катет МО (радиус R), который лежит напротив угла MKO.
• В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[ \sin(\angle MKO) = \frac{MO}{KO} \]
• Однако, мы знаем угол MOK, а не MKO. Используем другой подход.
• В прямоугольном треугольнике KMO, катет МО лежит напротив угла MKO. Катет КМ лежит напротив угла MOK.
• Нам известен угол MOK = 60°. Катет МО противолежит углу KMO, а катет КМ противолежит углу MOK.
• Угол MKO = 180° - 90° - 60° = 30°.
• Теперь мы можем найти радиус R (катет МО), используя угол MKO: \[ \sin(\angle MKO) = \frac{MO}{KO} \] \[ \sin(30°) = \frac{R}{10} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{R}{10} \] \[ R = \frac{10}{2} = 5 \] см.
• Или, используя угол MOK: \[ \cos(\angle MOK) = \frac{MO}{KO} \] \[ \cos(60°) = \frac{R}{10} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{R}{10} \] \[ R = \frac{10}{2} = 5 \] см.

Ответ: Радиус окружности равен 5 см.