3. Докажите, что при всех значениях $y\ne\pm3$ значение выражения $\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\cdot\left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)$ не зависит от $y$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех значениях $y\ne\pm3$ значение выражения…$ Фото задания

3. Докажите, что при всех значениях $y\ne\pm3$ значение выражения $\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\cdot\left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)$ не зависит от $y$.

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $9-6y+y^2=(y-3)^2$, а $9-y^2=(3-y)(3+y)=-(y-3)(y+3)$. С учётом условия $y\ne\pm3$ преобразования допустимы.

\[\begin{aligned}\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\left(\frac{2}{(y-3)^2}-\frac{1}{(y-3)(y+3)}\right)&=\frac{2y}{y+3}+2-\frac{y-3}{y+3}\\&=\frac{2y-(y-3)}{y+3}+2\\&=\frac{y+3}{y+3}+2=3.\end{aligned}\]

Получилось постоянное значение, не зависящее от $y$.

Ответ: выражение равно 3 при всех $y\ne\pm3$.

3. Докажите, что при всех значениях \(y\ne\pm3\) значение выражения \(\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\cdot\left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)\) не зависит от \(y\).

Ответ: