3. Диаметр АВ пересекает хорду СД в точке М. Найдите отрезки, на которые точка М делит диаметр АВ, если радиус 10 см, СМ=4 см, МД=9 см.

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков каждой хорды равно:

\[ CM \cdot MD = AM \cdot MB \]

Подставим известные значения:

\[ 4 \cdot 9 = AM \cdot MB \]\[ 36 = AM \cdot MB \]

Диаметр АВ равен двум радиусам:

\[ AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см} \]

Пусть \( AM = x \) см. Тогда \( MB = AB - AM = 20 - x \) см.

Подставим это в уравнение:

\[ 36 = x(20 - x) \]\[ 36 = 20x - x^2 \]\[ x^2 - 20x + 36 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 400 - 144 = 256 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \]

Найдём значения \( x \):

\[ x_1 = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]\[ x_2 = \frac{20 - 16}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Получаем два варианта для отрезков AM и MB:

• Вариант 1: \( AM = 18 \text{ см} \), \( MB = 20 - 18 = 2 \text{ см} \)
• Вариант 2: \( AM = 2 \text{ см} \), \( MB = 20 - 2 = 18 \text{ см} \)

Таким образом, точка М делит диаметр АВ на отрезки 2 см и 18 см.

Ответ: 2 см и 18 см.