3. Даны точки с координатами Р(4;-1;2), К(3;0;-1), М(1;-6;8). Найдите координаты точки С, чтобы вектора РК и МС были равны.

Решение:

Даны точки: \( P(4;-1;2) \), \( K(3;0;-1) \), \( M(1;-6;8) \). Найдем координаты точки \( C(x_C; y_C; z_C) \) так, чтобы \( \vec{PK} = \vec{MC} \).

Сначала найдём координаты вектора \( \vec{PK} \):

\( \vec{PK} = (x_K - x_P; y_K - y_P; z_K - z_P) = (3 - 4; 0 - (-1); -1 - 2) = (-1; 1; -3) \>

Теперь найдём координаты вектора \( \vec{MC} \) через неизвестные координаты точки \( C \):

\( \vec{MC} = (x_C - x_M; y_C - y_M; z_C - z_M) = (x_C - 1; y_C - (-6); z_C - 8) = (x_C - 1; y_C + 6; z_C - 8) \>

Приравняем соответствующие координаты векторов \( \vec{PK} \) и \( \vec{MC} \), так как они должны быть равны:

\( x_C - 1 = -1 \Rightarrow x_C = 0 \)

\( y_C + 6 = 1 \Rightarrow y_C = 1 - 6 = -5 \)

\( z_C - 8 = -3 \Rightarrow z_C = -3 + 8 = 5 \>

Таким образом, координаты точки \( C \) равны \( (0; -5; 5) \).

Ответ: \( C(0; -5; 5) \).