Контрольные задания
Вопрос:

3. Дано: ΔABC, AB = AC = 15 см (см. рисунок), P<sub>ΔABC</sub> = 48 см, M, N, D — точки касания сторон и вписанной окружности. Найдите: а) длины отрезков BM и AD; б) радиус вписанной окружности.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Решение:

Дано:

  • ΔABC — равнобедренный, AB = AC = 15 см
  • PΔABC = 48 см
  • M, N, D — точки касания вписанной окружности

Найти:

  • а) BM, AD
  • б) r (радиус вписанной окружности)

а) Длины отрезков BM и AD:

  1. Найдем длину основания BC: PΔABC = AB + AC + BC.
  2. 48 см = 15 см + 15 см + BC
  3. 48 см = 30 см + BC
  4. BC = 48 см - 30 см = 18 см.
  5. Точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки. Отрезки, касательных, проведенных из одной вершины, равны: AM = AN, BM = BD, CN = CD.
  6. Так как AB = 15 см, и AB = AM + MB, а AC = 15 см, и AC = AN + NC, то AM = AN, MB = BD, NC = CD.
  7. Из того, что AB = AC, следует, что AM = AN, MB = BD, NC = CD.
  8. Обозначим BM = BD = x. Тогда AM = AB - BM = 15 - x.
  9. Так как AM = AN, то AN = 15 - x.
  10. BC = BD + DC. Мы знаем BC = 18 см, BD = x. Значит, DC = 18 - x.
  11. Так как CN = CD, то CN = 18 - x.
  12. Теперь рассмотрим сторону AC: AC = AN + NC.
  13. 15 = (15 - x) + (18 - x)
  14. 15 = 33 - 2x
  15. 2x = 33 - 15
  16. 2x = 18
  17. x = 9 см.
  18. Следовательно, BM = 9 см.
  19. AD — это высота, так как треугольник равнобедренный и D — точка касания на основании. AD является также медианой и биссектрисой.
  20. Найдем длину AD по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABD (∠ADB = 90°). BD = 9 см, AB = 15 см.
  21. AD² + BD² = AB²
  22. AD² + 9² = 15²
  23. AD² + 81 = 225
  24. AD² = 225 - 81
  25. AD² = 144
  26. AD = √144 = 12 см.

б) Радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту: S = 1/2 * BC * AD.

S = 1/2 * 18 см * 12 см = 9 см * 12 см = 108 см².

Площадь треугольника также равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: S = p * r, где p — полупериметр.

Полупериметр p = PΔABC / 2 = 48 см / 2 = 24 см.

Теперь найдем радиус r: S = p * r.

108 см² = 24 см * r

r = 108 см² / 24 см = 4.5 см.

Ответ: а) BM = 9 см, AD = 12 см; б) радиус вписанной окружности r = 4.5 см.

📄 Все ответы📸 Решить моё задание