3) Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 2 к 3, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна 15 см.

Решение:

1. Обозначения: Пусть ABC – равнобедренный треугольник, AB = AC = 15 см, BC – основание. Пусть O – центр вписанной окружности, K – точка касания на стороне AB.
2. Деление стороны: Точка K делит сторону AB в отношении 2:3, считая от вершины B (угол при основании). Таким образом, BK = (2/5) * 15 см = 6 см, AK = (3/5) * 15 см = 9 см.
3. Свойство отрезков касательных: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Поэтому:
• BK = BD = 6 см (где D – точка касания на основании BC)
• AK = AE = 9 см (где E – точка касания на стороне AC)
4. Нахождение основания: Основание BC = BD + DC. Так как треугольник равнобедренный, AD – высота и медиана. OD перпендикулярно BC, OD = r (радиус вписанной окружности).
5. Дополнительные построения и теоремы: В прямоугольном треугольнике BDO, BD = 6 см. В прямоугольном треугольнике ADO, AO = AE + EO = 9 + r. В прямоугольном треугольнике ODC, OD = r, DC = BC/2.
6. Используем теорему о касательных: AB = AK + KB = 9 + 6 = 15. AC = AE + EC = 9 + 6 = 15.
7. Находим высоту AD: В прямоугольном треугольнике ADB, AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - 6^2 = 225 - 36 = 189. AD = sqrt(189) = 3*sqrt(21).
8. Находим радиус вписанной окружности (r): Площадь треугольника S = (1/2) * BC * AD = (1/2) * (2*BD) * AD = BD * AD = 6 * 3*sqrt(21) = 18*sqrt(21).
9. Также площадь S = p * r, где p – полупериметр. p = (15 + 15 + 2*BD) / 2 = (30 + 12) / 2 = 21.
10. r = S / p = (18*sqrt(21)) / 21 = (6*sqrt(21)) / 7.
11. Найдем основание BC: BC = 2 * BD = 2 * 6 = 12 см.

Ответ: 12 см